Vis kilden til Stokes’ teorem

'''Stokes' teorem''' sier hvordan et linjeintegral rundt en lukket [[kurve]] kan omskrives som et [[flateintegral]] over en flate som ligger innenfor denne kurven:

:<math>\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} = \int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{a}</math>

Her er kurven ''C'' randen til flaten ''S'', matematisk uttrykt som ''C = &part;&thinsp;S''. Det kan være nyttig å bruke teoremet begge veier.


Et eksempel på bruk er innen [[elektromagnetisme]]n hvis en vil omskrive [[Faradays lov|Faradays induksjonslov]] fra integralform til differensialform:

:<math>\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { \partial \over \partial t }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}</math> 

gir ved Stokes' teorem:

: <math>\int_S (\nabla \times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{a} = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{a}</math>

Derivasjonsoperatoren på tid i det siste uttrykket kan settes på innsiden av integraltegnet siden tida er uavhengige av arealet:

: <math>\int_S (\nabla \times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{a} = - \int_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{a}</math>

Ettersom integralet er helt likt på begge sider, kan integrasjonsoperatorene fjernes:

: <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}</math>

Vi har her fått Faradays lov på differensialform.

==Se også==
* [[Divergensteoremet]]
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Teorem i differensialregning]]
[[Kategori:Integralregning]]