Stokes’ teorem

Stokes' teorem sier hvordan et linjeintegral rundt en lukket kurve kan omskrives som et flateintegral over en flate som ligger innenfor denne kurven:

${\oint }_C𝐅\cdot d𝐥=\underset{S}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)\cdot d𝐚$

Her er kurven C randen til flaten S, matematisk uttrykt som C = ∂ S. Det kan være nyttig å bruke teoremet begge veier.

Et eksempel på bruk er innen elektromagnetismen hvis en vil omskrive Faradays induksjonslov fra integralform til differensialform:

${\oint }_C𝐄\cdot d𝐥=-\frac{\partial }{\partial t}\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐚$

gir ved Stokes' teorem:

$\underset{S}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)\cdot d𝐚=-\frac{\partial }{\partial t}\underset{S}{\int }𝐁\cdot d𝐚$

Derivasjonsoperatoren på tid i det siste uttrykket kan settes på innsiden av integraltegnet siden tida er uavhengige av arealet:

$\underset{S}{\int }(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)\cdot d𝐚=-\underset{S}{\int }\frac{\partial 𝐁}{\partial t}\cdot d𝐚$

Ettersom integralet er helt likt på begge sider, kan integrasjonsoperatorene fjernes:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

Vi har her fått Faradays lov på differensialform.

Se også

• Divergensteoremet