Diagonal

For avenyen i Barcelona, se Avinguda Diagonal.

Diagonaler i en sekskant - en heksagon.

En diagonal er i vid forstand en skrå linje eller noe som kan karakteriseres ved en skrå linje. I matematikk kan en diagonal være

• en diagonal i et polygon eller en mangekant: et linjestykke som forbinder to hjørner i polygonet, slik at hjørnene ikke ligger på samme sidekant. Hvis en mangekant er konkav, vil noen diagonaler ligge utenfor mangekanten.
• en diagonal i et polyeder: et linjestykke som forbinder to hjørner i polyederet, slik at hjørnene ikke ligger på samme sideflate. En utvidet definisjon sier at en diagonal i et polyeder er et linjestykke mellom to hjørner, så lenge disse ikke ligger på samme sidekant.
• en diagonal i en matrise: En samling av matriseelementer $a_{ij}$ der $|i-j|=\text{konstant}$.
• en diagonal i et kartesisk produkt $V\times V$: en undermengde som inneholder alle elementer der begge koordinatene er like, det vil si på forma $(v,v)$.

Ordet «diagonal» stammer fra det greske διαγώνιος = diagonios, fra dia- som betyr «gjennom», «på tvers» og gonia som betyr «vinkel». Siste stavelse er beslektet med gony, med betydning «kne».

Diagonal i et polygon

Et enkelt polygon er et polygon der ingen av sidekantene krysser hverandre. Antall diagonaler $n_d$ i en enkel $n$-kant er gitt av:

$n_d=\frac{n(n-3)}{2}.$

Tabellen under gir antall diagonaler som funksjon av antall sider i en mangekant:

Sider Diagonaler 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35

Sider Diagonaler 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135

Sider Diagonaler 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299

Sider Diagonaler 27 324 28 350 29 377 30 406 31 434 32 464 33 495 34 527

Sider Diagonaler 35 560 36 594 37 629 38 665 39 702 40 740 41 779 42 819

Diagonal i et polyeder

Diagonaler i en kube med sidelengder 1. AC' (vist i blått) er en romdiagonal med lengde kvadratroten av 3, mens AC (vist i rødt) er en sidediagonal med lengde kvadratroten av 2.

En diagonal i en mangekant som utgjør en av sideflatene i et polyeder, kalles en sidediagonal. Tilsvarende kan romdiagonal brukes dersom en ønsker å poengtere at diagonalen går i det indre av polyederet.

Diagonal i en matrise

I en kvadratisk matrise kalles matriseelementene $a_{ii}$, der begge indeksene er like, for hoveddiagonalen eller bare diagonalen. Tilsvarende kalles alle elementer der $|i-j|=\text{konstant}>0$ for en sidediagonal.

I en identitetsmatrise er alle elementene utenfor hoveddiagonalen lik null. Elementene på hoveddiagonalen er lik 1. En matrise med nullelementer overalt bortsett fra på hoveddiagonalen, kalles generelt en diagonalmatrise. En $(3\times 3)$-identitetsmatrise har forma

$I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$

I den følgende matrisen $M$ er bare matriseelementer i en øvre sidediagonal ulik null:

$M=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$

Diagonal i et kartesisk produkt

Det kartesiske produktet $V\times V$ er en mengde av ordnede par $(v,w)$, slik at både $v$ og $w$ er elementer i mengden $V$. Diagonalen eller diagonalmengden er undermengden som inneholder alle ordende par der de to koordinatene er like.

Planet R² er et kartesisk produkt R $\times$ R, dvs en mengde av ordnede par $(x,y)$ der både $x$ og $y$ er relle tall. Diagonalmengden er lik mengden av $(x,x)$, det vil si den rette linja som har ligning $y=x$. Dette er en skrå linje i planet, noe som forklarer bruken av navnet «diagonal» også for det kartesiske produktet $V\times V$ i mer abstrakt betydning.

Se også

• Diagonaldekk