Eksakte trigonometriske konstanter

I en regulær n-kant er a = π/n den halve sentralvinkel og b = π(1/2 - 1/n) den halve, indre vinkel.

Mal:Trigonometri Eksakte trigonometriske konstanter er eksakte verdier som brukes for å uttrykke vinkler nøyaktig. Alle konstantene er utledet fra forholdet mellom to sider i en trekant.

Alle eksakte verdier av sinus, cosinus og tangens til vinkler med 3-graders inkrementer er det mulig å utlede ved å bruke identitetene for halve vinkler, dobbelte vinkler og sum/differanse med verdiene for 0°, 30°, 36°, og 45°. Det tilsvarer at de er konstruerbare tall og basert på konstruksjon av regulære mangekanter. Disse spesielle vinklene som er listet, er de halve sentralvinklene i de tilsvarende mangekantene. Det er kun mulig å finne eksakte verdier for vinkler på formen Mal:Sfrac (gitt i radianer), der m og n er heltall slik at det går an å konstruere et polygoner med n eller m sider.

Konstantene oppgis på eksakt form, dvs. ved hjelp av røtter og brøker, uten avrunding til desimaltall, som kan lede til unøyaktigheter dersom man bruker de i videre beregninger. Mange av verdiene er irrasjonelle. Dersom man evaulerer funksjonene $\sin x$ og $\cos x$ med et rasjonalt argumenter, er de eneste mulige rasjonale løsningene 0, ±1 og ±Mal:Sfrac.

Velkjente konstanter

Eksakte verdier på formen $(\cos \theta ,\sin \theta )$ på enhetssirkelen; alle disse er et multiplum av 30° og 45° (Mal:Sfrac og Mal:Sfrac).

Følgende konstanter kan utledes for verdier ut fra en sekstendeling av enhetssirkelen; disse gjelder for verdiene man får av å dele en sirkel i åtte eller tolv like deler. Én hel omdreining er gitt ved 360° eller $2\pi$.

Dreining	Grader	Radianer	Sinus	Cosinus	Tangens
0	0°	0	0	1	0
Mal:Sfrac	30°	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac
Mal:Sfrac	45°	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	1
Mal:Sfrac	60°	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	Mal:Sqrt
Mal:Sfrac	90°	Mal:Sfrac	1	0
Mal:Sfrac	120°	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	−Mal:Sqrt
Mal:Sfrac	135°	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	−1
Mal:Sfrac	150°	Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac
Mal:Sfrac	180°	$\pi$	0	−1	0
Mal:Sfrac	210°	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	Mal:Sfrac
Mal:Sfrac	225°	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	1
Mal:Sfrac	240°	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	Mal:Sqrt
Mal:Sfrac	270°	Mal:Sfrac	−1	0
Mal:Sfrac	300°	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	−Mal:Sqrt
Mal:Sfrac	315°	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	−1
Mal:Sfrac	330°	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac	Mal:Sfrac	−Mal:Sfrac
1	360°	2$\pi$	0	1	0

Andre verdier

Verdier for vinkler utenfor området [0°, 45°] kan utledes fra disse verdiene ved bruk av formlene for symmetri i trigonometriske identiteter. Merk at 1° = π/180 radianer.

0°: fundamental

$\sin 0=0$

$\cos 0=1$

$\tan 0=0$

$\cot 0\text{ er undefinert}$

3°: 60-sidet polygon

$\sin \frac{\pi }{60}=\sin 3^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1-\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}+1)]$

$\cos \frac{\pi }{60}=\cos 3^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1+\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}-1)]$

$\tan \frac{\pi }{60}=\tan 3^{\circ }=\frac{1}{4}[(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2][2-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

$\cot \frac{\pi }{60}=\cot 3^{\circ }=\frac{1}{4}[(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2][2+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

6°: 30-sidet polygon

$\sin \frac{\pi }{30}=\sin 6^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{6(5-\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1]$

$\cos \frac{\pi }{30}=\cos 6^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2(5-\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)]$

$\tan \frac{\pi }{30}=\tan 6^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)]$

$\cot \frac{\pi }{30}=\cot 6^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}]$

9°: 20-sidet polygon

$\sin \frac{\pi }{20}=\sin 9^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}]$

$\cos \frac{\pi }{20}=\cos 9^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}]$

$\tan \frac{\pi }{20}=\tan 9^{\circ }=\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

$\cot \frac{\pi }{20}=\cot 9^{\circ }=\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

12°: 15-sidet polygon

$\sin \frac{\pi }{15}=\sin 12^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{\pi }{15}=\cos 12^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1]$

$\tan \frac{\pi }{15}=\tan 12^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}]$

$\cot \frac{\pi }{15}=\cot 12^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

15°: dodekagon

$\sin \frac{\pi }{12}=\sin 15^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$

$\cos \frac{\pi }{12}=\cos 15^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$

$\tan \frac{\pi }{12}=\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$

$\cot \frac{\pi }{12}=\cot 15^{\circ }=2+\sqrt{3}$

18°: dekagon

$\sin \frac{\pi }{10}=\sin 18^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)=\frac{1}{2}{\phi }^{-1}$

$\cos \frac{\pi }{10}=\cos 18^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}$

$\tan \frac{\pi }{10}=\tan 18^{\circ }=\frac{1}{5}\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}$

$\cot \frac{\pi }{10}=\cot 18^{\circ }=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

21°: summen 9° + 12°

$\sin \frac{7\pi }{60}=\sin 21^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(1+\sqrt{5})]$

$\cos \frac{7\pi }{60}=\cos 21^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{5})]$

$\tan \frac{7\pi }{60}=\tan 21^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{5})][2-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

$\cot \frac{7\pi }{60}=\cot 21^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})][2+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

22.5°: oktogon

$\sin \frac{\pi }{8}=\sin 22.5^{\circ }=\frac{1}{2}(\sqrt{2-\sqrt{2}}),$

$\cos \frac{\pi }{8}=\cos 22.5^{\circ }=\frac{1}{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$

$\tan \frac{\pi }{8}=\tan 22.5^{\circ }=\sqrt{2}-1$

$\cot \frac{\pi }{8}=\cot 22.5^{\circ }=\sqrt{2}+1$

24°: summen 12° + 12°

$\sin \frac{2\pi }{15}=\sin 24^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}}]$

$\cos \frac{2\pi }{15}=\cos 24^{\circ }=\frac{1}{8}(\sqrt{6}\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{5}+1)$

$\tan \frac{2\pi }{15}=\tan 24^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})]$

$\cot \frac{2\pi }{15}=\cot 24^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)]$

27°: summen 12° + 15°

$\sin \frac{3\pi }{20}=\sin 27^{\circ }=\frac{1}{8}[2\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{3\pi }{20}=\cos 27^{\circ }=\frac{1}{8}[2\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)]$

$\tan \frac{3\pi }{20}=\tan 27^{\circ }=\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\cot \frac{3\pi }{20}=\cot 27^{\circ }=\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

30°: heksagon

$\sin \frac{\pi }{6}=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

$\cos \frac{\pi }{6}=\cos 30^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\tan \frac{\pi }{6}=\tan 30^{\circ }=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

$\cot \frac{\pi }{6}=\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}$

33°: summen 15° + 18°

$\sin \frac{11\pi }{60}=\sin 33^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1+\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{11\pi }{60}=\cos 33^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1-\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)]$

$\tan \frac{11\pi }{60}=\tan 33^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})][2+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

$\cot \frac{11\pi }{60}=\cot 33^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{5})][2-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

36°: pentagon

$\sin \frac{\pi }{5}=\sin 36^{\circ }=\frac{1}{4}[\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

$\cos \frac{\pi }{5}=\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{2}\phi$

$\tan \frac{\pi }{5}=\tan 36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\cot \frac{\pi }{5}=\cot 36^{\circ }=\frac{1}{5}[\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}]$

39°: summen 18° + 21°

$\sin \frac{13\pi }{60}=\sin 39^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1-\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)]$

$\cos \frac{13\pi }{60}=\cos 39^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1+\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)]$

$\tan \frac{13\pi }{60}=\tan 39^{\circ }=\frac{1}{4}[(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})-2][2-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

$\cot \frac{13\pi }{60}=\cot 39^{\circ }=\frac{1}{4}[(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{5})-2][2+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

42°: summen 21° + 21°

$\sin \frac{7\pi }{30}=\sin 42^{\circ }=\frac{\sqrt{6}\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8}$

$\cos \frac{7\pi }{30}=\cos 42^{\circ }=\frac{\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8}$

$\tan \frac{7\pi }{30}=\tan 42^{\circ }=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2}$

$\cot \frac{7\pi }{30}=\cot 42^{\circ }=\frac{\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(3-\sqrt{5})}{2}$

45°: kvadrat

$\sin \frac{\pi }{4}=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \frac{\pi }{4}=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan \frac{\pi }{4}=\tan 45^{\circ }=1$

$\cot \frac{\pi }{4}=\cot 45^{\circ }=1$

60°: trekant

$\sin \frac{\pi }{3}=\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\cos \frac{\pi }{3}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$

$\tan \frac{\pi }{3}=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$

$\cot \frac{\pi }{3}=\cot 60^{\circ }=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

der $\phi$ er det gylne snitt.

Se også

• Trigonometriske funksjoner
• Liste over trigonometriske identiteter

Litteratur

• Mal:MathWorld
• Mal:MathWorld
  • π/3 (60°) — π/6 (30°) — π/12 (15°) — π/24 (7.5°)
  • π/4 (45°) — π/8 (22.5°) — π/16 (11.25°) — π/32 (5.625°)
  • π/5 (36°) — π/10 (18°) — π/20 (9°)
  • π/7 — π/14
  • π/9 (20°) — π/18 (10°)
  • π/11
  • π/13
  • π/15 (12°) — π/30 (6°)
  • π/17
  • π/19
  • π/23
• Mal:MathWorld
• Mal:Kilde artikkel
• Mal:Kilde artikkel
• Mal:Kilde artikkel Mal:MR
• Mal:Kilde artikkel Mal:MR
• Mal:Kilde artikkel Mal:MR
• Mal:Kilde artikkel Mal:MR Mal:JSTOR

Eksterne lenker

• Constructible Regular Polygons
• Naming polygons
• Decimal expansion of sine of * degrees, OEIS