Abels konvergensteorem

Abels konvergensteorem i matematikk relaterer grenseverdien for en potensrekke til summen av koeffisientene. Teoremet er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.

Teorem

La a = {a_i: i ≥ 0} være en vilkårlig følge av reelle eller komplekse tall, og la

$G_a(z)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{z}^i$

være potensrekken med koeffisientene a. Anta at rekken $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ konvergerer. Da

$\underset{z\to 1^{-}}{\lim }{G}_a(z)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i.(*)$

I det spesielle tilfellet da alle koeffisientene a_i er reelle og a_i ≥ 0 for alle i, vil uttrykket overfor $(*)$ gjelde også når rekken $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ ikke konvergerer. I så tilfelle er begge sidene av uttrykket lik +∞.

Bemerkning

I en mer generell versjon av dette teoremet gjelder følgende: hvis r er et tilfeldig reelt tall ulik null og rekken $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{r}^i$ konvergerer for dette tallet, da følger det at

$\underset{z\to r}{\lim }{G}_a(z)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{r}^i$

forutsatt at vi tolker grensen for dette uttrykket som en énsidig grense, fra venstre hvis r er positiv og fra høyre hvis r er negativ.

Eksempler

La $f(x)=\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}=\log (1+x).$ Da $\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerende rekker,) følger

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\log 2=\sum _{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}.$

La $g(x)=\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}=\arctan (x).$ Igjen følger det av konvergenskriteriet for alternerende rekker, at $\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ konvergerer, og at

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g(x)=\arctan (1)=\frac{\pi }{4}=\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}.$

Anvendelsesområder

Anvendelsen av Abels teorem er knyttet til at den muliggjør å finne grensen til en potensrekke mens dets argument (dvs. z) nærmer seg 1 nedenfra, selv i tilfeller der konvergens radius R, for potensrekke er lik 1 og man ikke kan fastslå om grensen burde være endelig eller ikke. Se for eksempel binomialrekkene.

G_a(z) kalles den genererende funksjon for sekvensen a. Abels teorem er ofte nyttig ved generering av funksjoner med sekvenser av reelle ikke-negative verdier, som sannsynlighetsgenererende funksjoner. Den er særlig nyttig i teorien om Galton-Watson prosesser.

Beslektede konsepter

Konverse teoremer til et som Abels kalles Tauberiske teoremer: det finnes ingen nøyaktig konvers, kun resultater som betinger en hypotese. Fagområdet divergerende rekker og deres summasjonsmetoder inneholder mange teoremer av abelsk type og av tauberisk type.

Eksterne lenker

• Abel summeringsevne på PlanetMath (en mer generell redegjørelse for Abelske teoremer av denne typen)
• A.A. Zakharov (2001), Abel summeringsmetode, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104