Rekke (matematikk)

Mal:Analyse En rekke er i matematikk en sum av ledd i en følge. En betegner rekken som henholdsvis endelig eller uendelig, avhengig av om antall ledd er endelig eller uendelig.

Dersom en uendelig rekke har en endelig sum sies rekken å være konvergent, ellers er den divergent.

Rekker opptrer i mange områder av matematikk, og studiet av rekker er en viktig del av matematisk analyse.

Formell definisjon

La $\{a_n\}$ være en følge. En rekke med n-te ledd lik $a_n$ er definert som summen av alle N leddene i følgen, der N kan være endelig eller uendelig:

$s=\sum _{n=1}^N{a}_n$

Startindeksen for en rekke kan variere, tilsvarende som for en følge.

Til en uendelig følge $\{a_n\}$ kan en definere en assosiert følge $\{s_n\}$ der

$s_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$

Dersom følgen $\{s_n\}$ konverger sier en at den uendelige rekken konverger, og

$s=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n⟺s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n$

Leddet $s_n$ kalles den n-te partialsummen til rekken. En alternativ definisjon av en rekkesum er gitt ved Cesàro-summering.

Eksempler på rekker

Eksempel 1: Aritmetisk rekke

En aritmetisk rekke er en rekke der differensen mellom leddene er konstant, det vil si at rekken er summen av en aritmetisk følge. Dersom det første leddet er x₀ og n-te leddet er Mal:Nowrap, så er

$\sum _{n=0}^N{x}_n=\sum _{n=0}^N(x_0+nd)=\frac{N+1}{2}(x_0+x_N)=(N+1)x_0+\frac{1}{2}N(N+1)d$

En uendelig aritmetisk rekke er divergent.

Eksempel 2: Geometrisk rekke

En geometrisk rekke er en rekke der forholdet mellom leddene er konstant, og en uendelig geometrisk rekke har formen:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$

Rekken konverger kun dersom absoluttverdien av x er strengt mindre enn 1, dvs dersom |x| < 1:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=\frac{1}{1-x}$

En partialsum er gitt ved:

$\sum _{n=0}^N{x}^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}$

Eksempel 3: Harmonisk rekke

En harmonisk rekke er divergent

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

Mer generelt vil den følgende rekken konvergere hvis og bare hvis $p>1$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$

Eksempel 4

Den følgende rekken konvergerer for $p>1$:

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(\log n{)}^p}$

Eksempel 5: Eulertallet og eksponensialfunksjonen

Eulertallet e er ofte definert ved hjelp av den følgende konvergente rekken:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

Uttrykket i nevneren i brøken er n-fakultet. Generelt kan eksponentialfunksjonen defineres ved

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

Eksempel 6: Endelige heltalsrekker

Summen av de N første naturlige tallene kan skrives som en endelig rekke, med et enkelt uttrykk for summen:

$\sum _{n=1}^{N}n=\frac{N(N+1)}{2}$

Summen av de N første kvadrattallene og kubikktallene kan skrives tilsvarende

$\sum _{n=1}^N{n}^2=\frac{1}{6}N(N+1)(1+2N)$

$\sum _{n=1}^N{n}^3=(\sum _{n=1}^{N}n{)}^2$

Summen av de N første potensene av tallet 2:

$\sum _{n=0}^N{2}^n=2\cdot 2^N-1$

Konvergens

En uendelig rekke vil konvergere bare dersom leddene utgjør en følge som konvergerer mot null.

En rekke $\sum a_n$ sies å konvergere absolutt dersom rekken $\sum |a_n|$ konvergerer. Dersom $\sum a_n$ konvergerer, mens $\sum |a_n|$ divergerer, sies rekken å konvergere betinget.

Dersom $\sum a_n$ og $\sum b_n$ er to rekker av reelle positive tall, så siest den siste rekken å konvergere langsommere enn den første dersom

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b_n}{a_n}=\mathrm{\infty }$

Konvergenskriterier

Det eksisterer en rekke kriterier for å bestemme når en uendelig rekke er konvergent, uten krav til at en kjenner summen som rekken konverger mot.

Forholdskriteriet

En rekke $\sum a_n$ av reelle tall der alle leddene er ulik null, konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le q\text{for }n\ge N$

Rotkriteriet

En rekke $\sum a_n$ av reelle tall konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

$\sqrt{|a_n|}\le q\text{for }n\ge N$

Alternerende rekker

Alternerende rekker er rekker der leddene veksler fortegn, det vil si at annenhvert ledd er positivt negativt.

Leibniz’ kriterium for alternerende rekker sier at rekken

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$

er konvergent dersom $\{a_n\}$ er en monotont minkende følge av positive tall som konvergerer mot null. Den følgende rekken er for eksempel konvergent:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1}{n}$

Potensrekker

Potensrekker er rekker der leddene er relle eller komplekse tall, på forma

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-c{)}^n$

Her er c kalt senter for rekken og $a_n$ er koeffisientene. En potensrekke vil generelt konvergere eller divergere avhengig av valg av variablene x, som kan være et vilkårlig reelt eller komplekst tall. Til en hver potensrekke er det assosiert en konvergenssirkel i det komplekse planet, slik at rekken konverger dersom x ligger innenfor sirkelen. Konvergenssirkelen har sentrum i c. Radiusen til konvergenssirkelen kalles konvergensradiusen.

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^n}{n}$

Taylorrekker og maclaurinrekker

Utdypende artikkel: Taylorrekke

En taylorrekke for en uendelig mange ganger deriverbar reell funksjon f(x) er en potensrekke med sentrum i et vilkårlig verdi c på forma

$p_n(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(c)(x-c{)}^n$

Her er den n-te deriverte av funksjonen betegnet med $f^{(n)}$.

For argument innenfor konvergensradiusen til taylorrekken vil

$f(x)=p_n(x)$

En taylorrekke med senter i null kalles en maclaurinrekke.

Se også

• Abels teorem for potensrekker
• Grandis rekke
• Logaritmer – Seksjonen Rekkeutviklinger for logaritmefunksjonen
• Niels Henrik Abel – Seksjonen Uendelige rekker

Litteratur

• Mal:Kilde bok
• Mal:Kilde bok
• Mal:Kilde bok
• Mal:Kilde bok
• Mal:Kilde bok
• Sandvold, Øgrim, Bakken, Pettersen, Skrindo, Thorstensen, Thorstensen: Gyldendals formelsamling i matematikk, 1.utg. 2008,Gyldendal, ISBN 978-82-05-38499-6
• Mal:Kilde bok