Dirac-formalisme

Paul Dirac under en forelesning.

Dirac-formalisme elller bra-ket-notasjon benyttes i lineær algebra hvor operatorer virker i et komplekst vektorrom. Den ble oppfunnet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1939 for bruk i kvantemekanikk, men kan lett benyttes ved andre anvendelser.

En vektor v omtales som en «ket-vektor» og betegnes med symbolet $|v⟩$, mens en dual vektor u* kalles en «bra-vektor» med betegnelsen $⟨u|$. Dermed kan indreproduktet av disse to vektorene skrives som $⟨u|v⟩.$ På denne formen minner dette om en engelsk bracket  hvor bokstaven c  er erstattet med en loddrett strek som skiller vektorene.

Matrisenotasjon

I et komplekst vektorrom ${𝐂}^N$ med en basis kan operatorer representeres som N × N matriser. De virker på vektorer som er kolonnematriser og kan betraktes som ket-vektorer. Hvis vektorens komponenter er v_n  hvor indeksen n = 1, 2, ..., N, kan den derfor representeres ved kolonnevektoren

$|v⟩=(v_1,v_2,\dots ,v_N{)}^T$

hvor T  står for transponering.

Når en operator $\hat{A}$ virker på denne, vil den gi en ny ket-vektor $|v^{\prime }⟩=\hat{A}|v⟩.$ Da operatoren er representert ved matrisen A = (A_mn) i denne basisen, er hver komponent til denne transformerte vektoren gitt som

$v{\text{'}}_m=\sum _{n=1}^N{A}_{mn}{v}_n$

Den duale vektoren til ket-vektoren $|v⟩$ er bra-vektoren $⟨v|$ med komponenter i en radvektor,

$⟨v|=(v_1^{*},v_2^{*},\dots ,v_N^{*})$

Formelt finnes den fra kolonnevektoren $|v⟩$ ved kompleks konjugasjon etterfulgt av transponering.

Indreproduktet mellom en bra-vektor $⟨u|$ og ket-vektoren $|v⟩$ kan uttrykkes ved vektorenes komponenter som

$\begin{array}{cc}⟨u|v⟩& =\sum _{n=1}^N{u}_n^{*}{v}_n\\ & =u_1^{*}{v}_1+u_2^{*}{v}_2+\dots +u_N^{*}{v}_N\end{array}$

Formelt kan derfor bra- og ket-vektorer betraktes som rad- og kolonnevektorer med komplekse komponenter.

Kvantemekanikk

Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beregnes fra en tilstandsvektor $|\psi ⟩$ i et komplekst og lineært vektorrom kjent som et Hilbert-rom. Det kan ha uendelig mange dimensjoner og vektorene kan ha indekser som varierer kontinuerlig.

Med en diskret basis i Hilbert-rommet kan denne «ortonormeres» slik at

$⟨m|n⟩={\delta }_{mn}$

hvor det vanlige Kronecker-deltaet opptrer på høyre side. I denne basisen kan man uttrykke tilstandsvektoren som

$|\psi ⟩=\sum _n{\psi }_n|n⟩$,

hvor komponenten ${\psi }_n=⟨n|\psi ⟩$ er å betrakte som en «sannsynnlighetsamplitude» som angir graden av sannsynlighet for at systemet befinner seg i tilstand $|n⟩.$

For en partikkel som kan bevege seg langs en linje med kontinuerlig koordinat x, er det naturlig å benytte en koordinatbasis basert på egentilstander $|x⟩$. Deres normering er nå

$⟨x^{\prime }|x⟩=\delta (x^{\prime }-x)$,

hvor Diracs deltafunksjon opptrer på høyre side.

Bølgefunksjonen til partikkelen er formelt komponenten $\psi (x)=⟨x|\psi ⟩.$ Den er sannsynlighetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet x. Indreproduktet mellom to tilstandsvektorer $|\psi ⟩$ og $|\varphi ⟩$ er nå gitt som

$⟨\varphi |\psi ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{\varphi }^{*}(x)\psi (x)$.

Denne beskrivelsen lar seg lett utvide til å gjelde for en kvantemekanisk partikkel som kan bevege seg i tre dimensjoner.