Debye-lengde

I plasmaer og elektrolytter er Debye-lengden (også kalt Debye-radius), oppkalt etter Peter Debye, et mål på en ladningsbærers netto elektrostatiske effekt i en løsning og hvor langt den elektrostatiske effekten vedvarer. En Debye-kule er et volum hvis radie er Debye-lengden. For hver Debye-lengde blir ladninger i økende grad skjermet elektrisk. Hver Debye-lengde ${\lambda }_D$, det elektriske potensialet vil reduseres i størrelse med 1/e. Debye-lengde er et viktig parameter i plasmafysikk, elektrolytter og kolloider (DLVO teori). Den tilsvarende Debye-screeningbølgevektoren $k_D=\frac{1}{{\lambda }_D}$ for partikler med tetthet $n$, ladning $q$ ved temperatur $T$ er gitt ved $k_D^2=\frac{4\pi q^2}{k_{B}T}$ i gaussiske enheter. Uttrykk i MKS-enheter vil bli gitt nedenfor. De analoge mengdene ved veldig lave temperaturer ($T\to 0$) er kjent som Thomas–Fermi-lengden og Thomas–Fermi-bølgevektoren. De er av interesse for å beskrive oppførselen til elektroner i metaller ved romtemperatur.

Fysisk opprinnelse

Debye-lengden oppstår naturlig i den termodynamiske beskrivelsen av store systemer for mobilavgifter. I et system av $N$ forskjellige specier av ladninger, $j$ specier som bærer ladning $q_j$ og har konsentrasjon $n_j(𝐫)$ ved possisjon $𝐫$. Ifølge den såkalte "primitive modellen" fordeles disse ladningene i et kontinuerlig medium som bare er preget av sin relative statiske permittivitet., ${\epsilon }_r$. Denne fordelingen av ladninger innenfor dette mediet gir et elektrisk potensial $\mathrm{\Phi }(𝐫)$ som tilfredsstiller Poissons ligningen:

$\epsilon {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫)=-\sum _{j=1}^N{q}_j{n}_j(𝐫)-{\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}(𝐫)$,

hvor $\epsilon \equiv {\epsilon }_r{\epsilon }_0$, ${\epsilon }_0$er den elektriske konstanten, og ${\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$ er en ladetetthet utenfor (logisk, ikke romlig) til mediet.

De mobile ladningene bidrar ikke bare til å etablere $\mathrm{\Phi }(𝐫)$ men også bevege seg som svar på den tilhørende Coulomb-kraften,$-q_j\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(𝐫)$.Hvis vi videre antar at systemet er i termodynamisk likevekt med et varmebad ved absolutt temperatur $T$, deretter vil konsentrasjonene av diskrete ladninger, $n_j(𝐫)$, kan betraktes som termodynamiske (ensemble) gjennomsnitt og det tilhørende elektriske potensialet for å være et termodynamisk middelfelt. Med disse antagelsene, konsentrasjonen av $j$ ladde specier bli beskrevet av Boltzmann-distribusjonen,

$n_j(𝐫)=n_j^0\exp (-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)}{k_{\mathrm{B}}T})$,

hvor $k_{\mathrm{B}}$ er Boltzmanns konstant og hvor $n_j^0$ er den gjennomsnittlige konsentrasjonen av ladninger av specie $j$.

Å identifisere de øyeblikkelige konsentrasjonene og potensialet i Poisson-ligningen med deres gjennomsnittsfelt-kolleger i Boltzmanns fordeling, gir Poisson-Boltzmann-ligningen:

$\epsilon {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫)=-\sum _{j=1}^N{q}_j{n}_j^0\exp (-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)}{k_{\mathrm{B}}T})-{\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}(𝐫)$.

Løsninger på denne ikke-lineære ligningen er kjent for noen enkle systemer. Løsninger for mer generelle systemer kan oppnås i grensen for høy temperatur (svak kobling), $q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)\ll k_{\mathrm{B}}T$,av Taylorutvidelsen eksponentiell:

$\exp (-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)}{k_{\mathrm{B}}T})\approx 1-\frac{q_j\mathrm{\Phi }(𝐫)}{k_{\mathrm{B}}T}$.

Denne tilnærmingen gir den lineariserte Poisson-Boltzmann-ligningen

$\epsilon {\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫)=\left(\sum _{j=1}^N\frac{n_j^0{q}_j^2}{k_{\mathrm{B}}T}\right)\mathrm{\Phi }(𝐫)-\sum _{j=1}^N{n}_j^0{q}_j-{\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}(𝐫)$

som også er kjent som Debye–Hückel-ligningen: Det andre begrepet på høyre side forsvinner for systemer som er elektrisk nøytrale. Begrepet i parentes delt på $\epsilon$, har enhetene med en omvendt lengde i kvadrat og fører ved dimensjonsanalyse til definisjonen av den karakteristiske lengdeskalaen

${\lambda }_{\mathrm{D}}={\left(\frac{\epsilon k_{\mathrm{B}}T}{\sum _{j=1}^N{n}_j^0{q}_j^2}\right)}^{1/2}$

som ofte kalles Debye–Hückel-lengden. Som den eneste karakteristiske lengdeskalaen i Debye–Hückel-ligningen, ${\lambda }_D$ setter skalaen for variasjoner i potensialet og i konsentrasjonene av ladede specier. Alle ladede specier bidrar til Debye–Hückel-lengden på samme måte, uavhengig av tegnet på ladningen. For et elektrisk nøytralt system blir Poisson-ligningen

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }(𝐫)={\lambda }_{\mathrm{D}}^{-2}\mathrm{\Phi }(𝐫)-\frac{{\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}(𝐫)}{\epsilon }$

For å illustrere Debye-screening, potensialet som produseres av en ekstern punktladning ${\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=Q\delta (𝐫)$ is

$\mathrm{\Phi }(𝐫)=\frac{Q}{4\pi \epsilon r}{e}^{-r/{\lambda }_{\mathrm{D}}}$

Coulomb-potensialet blir eksponentielt screenet av mediet over en avstand av Debye-lengden.

Lengden på Debye–Hückel kan uttrykkes i form av Bjerrum-lengden ${\lambda }_{\mathrm{B}}$ som

${\lambda }_{\mathrm{D}}={\left(4\pi {\lambda }_{\mathrm{B}}\sum _{j=1}^N{n}_j^0{z}_j^2\right)}^{-1/2}$,

hvor $z_j=q_j/e$ er heltallsladingstallet som relaterer ladningen på $j$ ioniske specier til elementærladningen $e$.

I plasma

I et ikke-isotermisk plasma kan temperaturene for elektroner og tunge specier variere mens bakgrunnsmediet kan behandles som vakuum (${\epsilon }_r=1$), og Debye-lengden er

${\lambda }_{\mathrm{D}}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{\mathrm{B}}/q_e^2}{n_e/T_e+\sum _j{z}_j^2{n}_j/T_i}}$

hvor

λ_D er Debye-lengden,

ε₀ er permittiviteten til ledig plass,

k_B er Boltzmanns konstant,

q_e er ladningen til et elektron,

T_e og T_i er temperaturene til henholdsvis elektronene og ionene,

n_e er tettheten til elektroner,

n_j er tettheten til atomarter j, med positiv ionisk ladning z_jq_e

Selv i kvasineutralt kaldt plasma, hvor ionebidrag praktisk talt ser ut til å være større på grunn av lavere ionetemperatur, faller ionebetegnelsen ofte, noe som gir

${\lambda }_{\mathrm{D}}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{\mathrm{B}}{T}_e}{n_e{q}_e^2}}$

selv om dette bare er gyldig når mobiliteten til ioner er ubetydelig sammenlignet med prosessens tidsskala.

Vanlige verdier

I romplasmaer der elektrondensiteten er relativt lav, kan Debye-lengden nå makroskopiske verdier, slik som i magnetosfæren, solvinden, det interstellare mediet og det intergalaktiske mediet. Se tabellen nedenfor:

Plasma	Tetthet Mal:Nobold	Elektrontemperatur Mal:Nobold	Magnetfelt Mal:Nobold	Debye lengde Mal:Nobold
Solkjerne	1032	107	-	10−11
Tokamak	1020	108	10	10−4
Gassutslipp	1016	104	-	10−4
Ionosfæren	1012	103	10−5	10−3
Magnetosfæren	107	107	10−8	102
Sol-vind	106	105	10−9	10
Interstellar medium	105	104	10−10	10
Intergalaktisk medium	1	106	-	105

I en elektrolyttløsning

I en elektrolytt eller en kolloid suspensjon er Debye-lengden for en monovalent elektrolytt betegnes vanligvis med symbolet κ⁻¹

${\kappa }^{-1}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_0{k}_{\mathrm{B}}T}{2\times 10^3{N}_{\mathrm{A}}{e}^{2}I}}$

hvor

I er ionestyrken til elektrolytten i molare enheter (M eller mol/L),

ε₀ er permittiviteten til vaccum,

ε_r er den dielektriske konstant,

k_B er Boltzmanns konstant,

T er den absolutte temperaturen i kelvin,

N_A er Avogadros tall.

$e$ er elementærladningen,

eller for en symmetrisk monovalent elektrolytt,

${\kappa }^{-1}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\epsilon }_{0}RT}{2\times 10^3{F}^2{C}_0}}$

hvor

R er gasskonstanten,

F er Faradays konstant,

C₀ er elektrolyttkonsentrasjonen i molar enheter (M ellermol/L).

Alternativt,

${\kappa }^{-1}=\frac{1}{\sqrt{8\pi {\lambda }_{\mathrm{B}}{N}_{\mathrm{A}}\times 10^{3}I}}$

hvor

${\lambda }_{\mathrm{B}}$ er Bjerrum-lengden på mediet.

For vann ved romtemperatur, λ_B ≈ 0.7 nm.

Ved romtemperatur (20 ° C eller 70 ° F) kan man vurdere forholdet i vann:

${\kappa }^{-1}(\mathrm{n}\mathrm{m})=\frac{0.304}{\sqrt{I(\mathrm{M})}}$

hvor

κ⁻¹ er utrykt i nanometer (nm)

I er ionestyrken uttrykt i molar (M eller mol/L)

Det er en metode for å estimere en omtrentlig verdi av Debye-lengden i væsker ved bruk av ledningsevne, som er beskrevet i ISO-standard, og boka.

I halvledere

Debye-lengden har blitt stadig viktigere i modelleringen av solid state-enheter ettersom forbedringer i litografisk teknologier har muliggjort mindre geometrier.

Debye-lengden på halvledere er gitt:

$L_{\mathrm{D}}=\sqrt{\frac{\epsilon k_{\mathrm{B}}T}{q^2{N}_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{p}}}}$

hvor

ε er den dielektriske konstanten,

k_B er Boltzmanns konstant,

T er den absolutte temperaturen i kelvin,

q er elementærladning, og

N_dop er netto tetthet av dopanter (enten givere eller akseptorer).

Når dopingprofiler overstiger Debye-lengden, oppfører ikke majoritetsbærerne seg lenger i henhold til fordelingen av dopantene. I stedet gir et mål på dopinggradientprofilen en "effektiv" profil som bedre samsvarer med profilen til majoritetsbærertettheten.

I sammenheng med faste stoffer kalles Debye-lengden også Thomas–Fermi screeninglengde.