Pauli-matrise

Hver egenvektor for spinn-1/2 tilsvarer et punkt på en kuleflate eller Bloch-sfære.

Pauli-matriser er tre 2 × 2 matriser som ble innført av Wolfgang Pauli for å beskrive ikke-relativistiske partikler med spinn-1/2. De er hermitiske og kan benyttes til å beskrive alle andre kvantemekaniske system som har et todimensjonalt Hilbert-rom.

Et viktig eksempel er en qubit som er den minste enheten i en kvantedatamaskin. Tillatte tilstander for slike system kan representeres av punkter på en kuleflate som kalles en «Bloch-sfære».

Matrisene er definerte som:

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2={\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3={\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

hvor i = √-1 er den imaginære enheten. De utgjør den fundamentale representasjonen av generatorene til Lie-gruppen SU(2) som beskriver rotasjoner. Samtidig kan de betraktes som basiselementene i Clifford-algebraen Cℓ(3,0). Dirac-ligningen og dens løsninger for relativistiske partikler med spinn-1/2 er fundert på Pauli-matriser.

Algebraiske egenskaper

Ved direkte utregning finner man

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

hvor $I$ er 2 × 2 enhetsmatrisen. Den blir ofte utelatt i mange sammenhenger der den ikke har noen betydning. Når matrisene er forskjellige, finner man på samme måte

${\sigma }_1{\sigma }_2=-{\sigma }_2{\sigma }_1=i{\sigma }_3$

${\sigma }_2{\sigma }_3=-{\sigma }_3{\sigma }_2=i{\sigma }_1$

${\sigma }_3{\sigma }_1=-{\sigma }_1{\sigma }_3=i{\sigma }_2$

Det betyr at ${\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=i.$ Disse forskjellige produktene kan sammenfattes delvis i kommutatoren

$\begin{array}{cc}[{\sigma }_a,{\sigma }_b]& \equiv {\sigma }_a{\sigma }_b-{\sigma }_b{\sigma }_a\\ & =2i{\epsilon }_{abc}{\sigma }_c\end{array}$

når man benytter det antisymmetriske Levi-Civita-symbolet og Einsteins summekonvensjon, samt antikommutatoren

$\begin{array}{cc}\{{\sigma }_a,{\sigma }_b\}& \equiv {\sigma }_a{\sigma }_b+{\sigma }_b{\sigma }_a\\ & =2{\delta }_{ab}\end{array}$

ved bruk av Kronecker-deltaet. Addisjon av disse to uttrykkene gir den fundamentale sammenhengen

${\sigma }_a{\sigma }_b={\delta }_{ab}+i{\epsilon }_{abc}{\sigma }_c$

Den inneholder alle de algebraiske egenskapene til Pauli-matrisene.

I tillegg til at matrisene er hermitiske, har også deres determinanter (det) og spor (tr) bestemte verdier,

$\begin{array}{cc}\det {\sigma }_a& =-1\\ \text{tr}{\sigma }_a& =0\end{array}$

Grunnen for dette er at de alle har de samme to egenverdiene +1 og -1.

Pauli-vektorer

I mange sammenhenger er det hensiktsmessig å betrakte de tre Pauli-matrisene som komponentene til en vektor $\mathit{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z).$ Det gjør det mulig å beregne dens komponent langs en vilkårlig annen vektor u = (u_x, u_y, u_z } som

$\mathit{\sigma }\cdot 𝐮={\sigma }_x{u}_x+{\sigma }_y{u}_y+{\sigma }_z{u}_z=\left(\begin{array}{cc}{u}_z& u_x-i{u}_y\\ u_x+i{u}_y& -u_z\end{array}\right)$

På denne måten konstrueres en «Pauli-vektor» med determinant

$\det (\mathit{\sigma }\cdot 𝐮)=-(u_x^2+u_y^2+u_z^2)=-𝐮\cdot 𝐮$

Dens kvadrat kan skrives som

$(\mathit{\sigma }\cdot 𝐮{)}^2=\left(\begin{array}{cc}{u}_x^2+u_y^2+u_z^2& 0\\ 0& u_x^2+u_y^2+u_z^2\end{array}\right)=𝐮\cdot 𝐮$

når man dropper enhetsmatrisen på høyre side.

Mer generelt produktet mellom to forskjellige Pauli-vektorer

$\begin{array}{cc}(\mathit{\sigma }\cdot 𝐮)(\mathit{\sigma }\cdot 𝐯)& ={\sigma }_a{\sigma }_b{u}_a{v}_b=({\delta }_{ab}+i{\epsilon }_{abc}{\sigma }_c)u_a{v}_b\\ & =𝐮\cdot 𝐯+i\mathit{\sigma }\cdot (𝐮\times 𝐯)\end{array}$

da vektorproduktet kan uttrykkes ved Levi-Civita-symbolet som inngår i det siste leddet.

Pauli-matrisene kan benyttes ved Lorentz-transformasjoner slik de opptrer i kovariant relativitetsteori. Sammen med enhetsmatrisen utgjør de da en firevektor med kovariante komponenter ${\sigma }_{\mu }=(I,\mathit{\sigma }).$ Hvis nå $u^{\mu }=(u_0,𝐮)$ er en firevektor, kan den fremstilles som en kovariant Pauli-vektor

$u^{\mu }{\sigma }_{\mu }=u_{0}I+\mathit{\sigma }\cdot 𝐮=\left(\begin{array}{cc}{u}_0+u_z& u_x-i{u}_y\\ u_x+i{u}_y& u_0-u_z\end{array}\right)$

Dens determinant er nå

$\det (u^{\mu }{\sigma }_{\mu })=u_0^2-𝐮\cdot 𝐮={\eta }_{\mu \nu }{u}^{\mu }{u}^{\nu }$

slik at metrikken i Minkowski-rommet kommer riktig ut.

Bloch-sfære

Wolfgang Pauli viste at en partikkel med spinn s = 1/2 har en spinnvektor som kan fremstilles ved de tre matrisene

$𝐒=\frac{\hslash }{2}\mathit{\sigma }=\frac{\hslash }{2}({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$

hvor ħ  er den reduserte Planck-konstanten. De to egenverdiene ±1 til σ_z  tilhører to ortogonale egenvektorer som representeres ved spinorene

$\psi (+z)=\uparrow =\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\psi (-z)=\downarrow =\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

der ${\sigma }_z\uparrow =+\uparrow$ og ${\sigma }_z\downarrow =-\downarrow .$ Man sier derfor at de to tilstandene beskriver et spinnet som peker i retning +z  eller den motsatte retningen -z.

Spinn i andre retninger kan beskrives ved spinorer på den generelle formen $\psi =a\uparrow +b\downarrow$ hvor a  og b  er komplekse komponenter. For eksempel er

$\psi (+y)=\sqrt{\frac{1}{2}}(\uparrow +i\downarrow )=\sqrt{\frac{1}{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right)$

en egentilstand for σ_y  med egenverdi +1. Spinoren beskriver tilstanden hvor spinnet peker langs y-aksen.

Spinn i en vilkårlig retning gitt i kulekoordinater ved enhetsvektoren n = (sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ), må tilsvare en egentilstand av matrisen

$\mathit{\sigma }\cdot 𝐧=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta e^{-i\varphi }\\ \sin \theta e^{i\varphi }& -\cos \theta \end{array}\right)$

med egenverdi +1. Den kan finnes mest direkte ved å rotere egentilstanden $\uparrow$ med spinnet langs z-aksen slik at det får sin retning langs n. Anvendes rotasjonsmatrisene for spinn-1/2, først med θ  om y-aksen og så φ  om z-aksen, går spinoren over til

$\begin{array}{cc}\psi (+𝐧)& =e^{-i{\sigma }_z\varphi /2}{e}^{-i{\sigma }_y\theta /2}\uparrow \\ & =\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\varphi /2}& 0\\ 0& e^{i\varphi /2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\theta }{2}& -\sin \frac{\theta }{2}\\ \sin \frac{\theta }{2}& \cos \frac{\theta }{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}{e}^{-i\varphi /2}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\varphi /2}\end{array}\right)=e^{-i\varphi /2}(\cos \frac{\theta }{2}\uparrow +e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}\downarrow )\end{array}$

Hver slik egentilstand er éntydig gitt ved koordinatene (θ, φ) som angir et punkt på en kuleflate. Denne kalles ofte for en «Bloch-sfære» etter Felix Bloch når den anvendes i denne sammenhengen.

Se også

• Kvantisert dreieimpuls
• Pauli-ligning

Eksterne lenker

• Professor M, The Pauli matrices, Youtube video.
• E.W. Weisstein, Pauli Matrices, Wolfram MathWorld
• B. Zwiebach, Spin One-half, Bras, Kets, and Operators, MIT OpenCourseWare, YouTube video (2013).