Imaginær enhet

Mal:Kildeløs I matematikk er den imaginære enhet $i$ et komplekst tall med egenskapen $i^2=-1$. Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall $z$ kan skrives på formen $z=a+bi$, der $a$ og $b$ er reelle tall. Dersom $a$ er lik null sies det komplekse tallet å være rent imaginært

Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler. Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger. Den imaginære enhet er en rot i andregradsligningen $x^2=-1$.

i og −i

Likningen $x^2=-1$ har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning $i$ av likningen er fastslått, er også $-i(\ne i)$ en løsning.

Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved $ℝ[X]/(X^2+1)$ er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra $ℝ[X]/(X^2+1)$, identiteten og automorfismen som sender $X$ til $-X$. (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til $ℂ$; men de er de eneste feltautomorfismene til $ℂ$ hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som reelle 2 × 2-matriser, fordi både $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{ og }\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ er løsninger av likningen $x^2=-1$. I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt enhetssirkelen som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen $\mathrm{S}\mathrm{O}(2,ℝ)$ har nøyaktig to elementer — identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.

Mulige falske løsninger

Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som $\sqrt{-1}$. Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle $x>0$, eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

$-1=i\cdot i=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{-1\cdot -1}=\sqrt{1}=1$

Beregningsreglen

$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall $a$ og $b$.

Potenser av i

Potensene av $i$ gjentas i en syklus:

$i^1=i$

$i^2=-1$

$i^3=-i$

$i^4=1$

$i^5=i$

$i^6=-1$

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor $n$ er et vilkårlig heltall:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

i og Eulers formel

Hvis man tar Eulers formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, og setter inn $x=\pi /2$, får man

$e^{i\pi /2}=i$

Hvis begge sider opphøyes i potensen $i$, idet man husker at $i^2=-1$, får man følgende identitet:

$i^i=e^{-\pi /2}=0,2078795763\dots$

Det er lett å fastslå at $i^i$ har et uendelig antall løsninger på formen

$i^i=e^{-\pi /2+2\pi N}$

hvor $N$ er et vilkårlig heltall.

Alternativt symbol

I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som $j$ for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk vekselstrøm. Mal:Autoritetsdata