Adveksjonsligningen

Adveksjonsligningen er en partiell differensialligning som styrer bevegelsen til en konservert skalar når den blir advektert av et kjent vektorfelt. Den blir utledet ved å bruke skalaren sin bevaringslov sammen med Gauss' teorem og ved å bruke infinitesimale grenser.

Dette beskriver det som skjer når et bevart kvantum (skalaren), for eksempel varme, vann, mudder ol. transporteres med og spres i (adekveres av) en strømning (vektorfeltet) i f.eks. vann eller luft. Spesifikt brukes adveksjonsligningen ofte for å beskrive den horisontale transport av varme og fuktighet som foregår i luftmasser.

Det beste eksempel på dette er kanskje transport av oppløst salt i vann.

Matematisk kan en uttrykke adveksjonsligningen som:

$\frac{\partial \psi }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\psi 𝐮\right)=0$

der ∇· er divergensen. $\psi$ er skalæren og $𝐮$ er vektorfeltet. Ofte tenker en seg at hastighetsfeltet er solenoidalt, altså er $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=0$. Når dette er oppfylt blir ligningen over redusert til

$\frac{\partial \psi }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla }\psi =0.$

Hvis strømmen er laminær, er $𝐮\cdot \mathrm{\nabla }\psi =0$ som viser at $\psi$ er konstant langs en strømlinje.

Adveksjonsligningen er ikke enkel å løse numerisk: Systemet er en hyperbolsk partiell differensialligning, og interesseområdet er vanligvis diskontinuerlige «sjokkløsninger» (som er svært vanskelig å takle for numeriske skjema).

Selv med konstant fart og et endimensjonalt rom er systemet vanskelig å simulere (det er en standardtest for adveksjonsskjema som kalles grisehusproblemet). Ligningen over blir da:

$\frac{\partial \psi }{\partial t}+u\frac{\partial \psi }{\partial x}=0$

der $\psi =\psi (x,t)$.

Ifølge Zan [2] kan en skjevsymmetrisk form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løsningen.

$\frac{1}{2}𝐮\cdot \mathrm{\nabla }𝐮+\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }(𝐮𝐮)$

der $\mathrm{\nabla }(𝐮𝐮)$ er en vektor med komponenter $[\mathrm{\nabla }(𝐮u_x),\mathrm{\nabla }(𝐮u_y),\mathrm{\nabla }(𝐮u_z)]$ der en har brukt notasjonen $𝐮=[u_x,u_y,u_z]$.

Siden skjevsymmetri bare medfører komplekse egenverdier, reduserer denne formen «oppblåsning» og «spektral blokkering», som en ofte får i numeriske løsninger med skarpe diskontinuiteter (se Boyd [1] pp. 213).

Andre størrelser

Adveksjonslignen gjelder også om størrelsen som blir advektert er representert ved en tetthetsfunksjon i hvert punkt, men å regne ut diffusjonene er da vanskeligere.

Se også

• Adveksjon
• Kontinuitetsligningen
• Couranttall
• Partiell differensialligning

Kilder

• Boyd, J.P.: 2000, Chebyshev and Fourier Spectral Methods 2nd edition, Dover, New York
• Zang, T: 1991, On the rotation and skew-symmetric forms for incompressible flow simulations, Applied Numerical Mathematics,7,27-40.