Σ-algebra

Mal:UforståeligMal:Lowercase En familie $𝒜$ av delmengder av mengden $X$ kalles en sigma-algebra dersom

1. $𝒜$ er ikke tom. (Det finnes minst en delmengde $A\in 𝒜$.)
2. Lukket under komplement: Hvis $A$ er med i $𝒜$ så er komplementet $A^c=X\setminus A$ også være med i $𝒜$
3. Lukket under tellbare unioner: Hvis $(A_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ er en samling av mengder i $𝒜$ er også unionen $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\cup }}{A}_n$ med i $𝒜$

Det følger at $\mathrm{\varnothing }$ og $X$ er med i $𝒜$:
Tar vi en vilkårlig mengde $A$ i $𝒜$ (som finnes, ved egenskap 1) har vi at komplementet $A^c$ er i $𝒜$ ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen $A\cup A^c=X$ og dens komplement $\mathrm{\varnothing }$ være i $𝒜$.

Eksempel

Den enkleste $\sigma$-algebraen på en gitt mengde $X$ er den trivielle: $𝒜=\{\mathrm{\varnothing },X,A,A^c\}$, for en delmengde $A$ av $X$. Går vi til den andre enden av skalaen er den største $\sigma$-algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av $X$, $𝒫(X)$.

La $X=1,2,3,4,5,....$ være mengden $\mathbb{N}$ av alle naturlige tall, og la familien $𝒜$ bestå av de 4 delmengdene $\mathrm{\varnothing }$, $1,3,5,....$ (alle oddetall) $2,4,6,...$ (alle partall) samt $X$ selv. $𝒜$ er da en sigma-algebra.

En svært viktig $\sigma$-algebra er Borel $\sigma$-algebraen. Denne definerer vi som $\sigma$-algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde $X$. Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive $ℬ=\sigma ((a,b))$. Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel $\sigma$-algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel $\sigma$-algebraen også er generert av $[a,b]$,$[a,b)$,$(a,\mathrm{\infty })$ og $[a,\mathrm{\infty })$.

Referanser

Bartle, Robert G: The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library