Apollonios’ sirkel

Når forholdet AP/BP mellom lengdene i trekanten er konstant, ligger punktet P på en sirkel.

Apollonios' sirkel er det geometriske sted for alle punkt som har avstander til to gitte punkt slik at forholdet mellom avstandene er konstant. Radius til sirkelen er gitt ved størrelsen til det konstante forholdet.

Dette kan benyttes som definisjon av en sirkel og ble først omtalt av Apollonios fra Perge. Hans navn er derfor knyttet til setningen.

Geometrisk bevis

Apollonios' sirkel går gjennom de to punktene T_i  og T_a  som er harmonisk konjugerte med de gitte punktene A og B.

Det geometriske stedet er definert ved punkt X slik at forholdet λ = AX/BX mellom avstandene til de to gitte punktene A og B er konstant. For å vise at dette er en sirkel, kan man konstruere et indre punkt T_i og et ytre punkt T_a som begge deler linjestykket AB med delingsforholdet λ. Disse to punktene er dermed harmonisk konjugerte med A og B. Dermed vil Mal:Nowrap som igjen er lik med forholdet XA/XB.

Halveringslinjesetningen sier nå at linjen XT_i halverer den indre vinkelen til hjørnet X i trekanten AXB. Da det samme argumentet viser at linjen XT_a halverer den ytre vinkelen til X  i samme trekant, vil vinkelen Mal:Nowrap være en rett vinkel. Fra Tales’ teorem følger da at punktet X  må ligge på en sirkel med linjestykket Mal:Nowrap som diameter. Dette er Apollonios' sirkel.

Inversjonssirkel

Apollonios-sirkelen har sitt sentrum i M som er midtpunktet mellom punktene T_i og T_a. Vinkelen MAX vil da være like stor som MXB fordi linjene XT_i og XT_a halverer de to vinklene i X. De to trekantene MAX og MXB er derfor likeformede da de har vinkelen AMX felles. Dermed er forholdene

$\frac{AX}{BX}=\lambda =\frac{MX}{MB}=\frac{MA}{MX}$

også like store.

Ved divisjon av de to siste forholdene følger at

$MA\cdot MB=M{X}^2$

De to gitte punktene A og B er derfor inverse av hverandre relativt til deres Apollonios-sirkel med radius Mal:Nowrap.

Størrelsen til denne radius kan finnes ved å multipliseres de to siste forholdene sammen. Det resulterer i at Mal:Nowrap. Hvis lengden av det gitte linjestykket Mal:Nowrap, vil da Mal:Nowrap når Mal:Nowrap. Radius i Apollonios-sirkelen er dermed Mal:Nowrap. Denne blir uendelig stor i det spesielle tilfellet at Mal:Nowrap og sirkelen degenerer til en rett linje som står vinkelrett på AB og halverer den.

Analytisk fremstilling

Man kan benytte et kartesiske koordinater med origo i A og x-aksen langs linjen som forbinder den med B. Disse to gitte punktene har gjensidig avstand a, Kravet til et punkt X = (x,y) på det geometriske stedet er da at XA/XB = λ skal være konstant. Det betyr at

$\sqrt{x^2+y^2}=\lambda \sqrt{{(x-a)}^2+y^2}$,

Ved å kvadrere denne ligningen kan den skrives på formen

$x^2+y^2-\frac{2{\lambda }^{2}ax}{{\lambda }^2-1}+\frac{{\lambda }^2{a}^2}{{\lambda }^2-1}=0$.

Den beskriver en sirkel med sentrum i $a{\lambda }^2/({\lambda }^2-1)$ på x-aksen og med radius $r=a\lambda /|{\lambda }^2-1|$. Når $\lambda \ll 1$ ligger sirkelsentrum like til venstre for origo i A. Etterhvert som $\lambda$ øker, flytter det seg ut til venstre, og radius øker. For den spesielle verdien $\lambda =1$ forsvinner senteret ut til venstre for så å dukke opp igjen langt ute til høyre for B. For enda større verdier av $\lambda$ nærmer det seg dette punktet, mens sirkelens radius samtidig går mot null.

Eksterne lenker

• Cut-the-Knot, Locus of Points in a Given Ratio to Two Points
• P. Pamfilos, Apollonian Circles, Geometrikon.