Binomisk fordeling

Mal:Kildeløs En binomisk fordeling eller binomialfordeling er en diskret fordeling (et begrep innen sannsynlighetsteori og matematisk statistikk) som håndterer hyppige (diskrete) forsøk med fast sannsynlighet.

Dersom en stokastisk variabel X er binomisk fordelt, med n=totale antall forsøk, k=antall lykkede forsøk og p=sannsynligheten for å lykkes i hvert forsøk, skriver man :

$X\in Bin(n,p)$

X har sannsynlighetsfunksjonen

$p_X(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}.$

der p er sannsynligheten for at hendelsen skal inntreffe og 1 - p = q således sannsynligheten for at hendelsen ikke skal inntreffe. Slik dukker binomialkoeffisientene opp i fordelingen.

Binomialfordelingen kan under visse omstendigheter tilnærmes med andre fordelinger. Tommelfingerregelen er at dersom $p<0,1$ kan fordelingen tilnærmes med poissonfordelingen Po(np), eller dersom $np(1-p)>10$ med normalfordelingen N($np$,$\sqrt{npq}$).

Eksempel: Statistikerens favoritteksempel er urnemodeller som bygger på urner med svarte og hvite kuler. Sannsynligheten for å ta ut en hvit kule ved en tilfeldig trekning er p. Sannsynligheten for at man tar ut nøyaktig k hvite kuler ved n forsøk, dersom man har s antall svarte og v hvite kuler i en urne, og legger tilbake kulene mellom hver trekning (trekning med tilbakelegging), gis da av sannsynlighetsfunksjonen over med

$p=\frac{v}{s+v}ogq=1-p,$

der p og q gis gjennom den klassiske sannsynlighetsdefinisjonen.

Eksempel 2: Dersom man kaster en terning tre ganger, og terningen er velbygd, slik at sannsynligheten for å få en sekser er 1/6, blir sannsynligheten for å få sekser to ganger

$P=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}){\left(\frac{1}{6}\right)}^2\frac{5}{6}=\frac{5}{72}$

Eksempel 3: På samme vis kan man regne ut sannsynligheten for å få sifferet seks x ganger ved n antall kast:

$P(X=x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}){\left(\frac{1}{6}\right)}^x{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-x}$

Se også

• Binomialformelen