Boolsk differensialregning

Boolsk differensialregning (tysk: Boolescher Differentialkalkül – BDK, engelsk: Boolean differential calculus – BDC) er et emne innen Boolsk algebra som beskriver endring av boolske variabler og boolske funksjoner.

Boolsk differensialregning kan beskrive ulike aspekter av dynamisk systemteori slik som automata teori for finite automata, petri-net teori, og tilsynskontrollteori (Supervisory control theory – SCT), slik at de kan bli behandlet på en enhetlig og lukket form, og at deres egenskaper kan behandles samlet.

En tilsvarende teori om boolsk integralregning har også blitt utviklet.

Historie

Fagfeltet ble som senere ble til boolsk differensialregning ble inspirert av design og testing av switching circuits og bruk av feilrettende koder i elektroteknikk. I perioden fra 1954 til 1959 kom det flere verk, skrevet av Irving S. Reed, David E. Müller, David A. Huffman, Sheldon B. Akers Jr. og A. D. Talantsev (A. D. Talancev, А. Д. Таланцев), og senere av Frederick F. Sellers, Jr, Mu-Yue Hsiao og Leroy W. Bearnson i 1968. På 1970-tallet ble grunnlaget for boolsk differensialregning lagt med verk av André Thayse, Marc Davio og Jean-Pierre Deschamps. Senere  videreutviklet Dieter Bochmann, Christian Posthoff og Bernd Steinbach boolsk differensialregning til en fullverdig matematisk teori.

Siden har det blitt gjort betydelige fremskritt innen både teori og anvendelse av boolsk differensialregning, også på området som initierte fagfeltet – design og logisk syntese av switching circuits.

Anvendelser

Boolsk differensialregning har anvendelser innen dynamiske systemer for diskrete hendelser (discrete event dynamic systems – DEDS). Et eksempel på slike er kommunikasjons protokoller for digitale nettverk.

Diskrete hendelser er også en vesentlig del av biologiske nevrale nett og noen typer nevromorfe nevrale nettverk. I biologiske nevrale nett vil nervecellenes (nevronenes) axon hillock utløse en tilnærmet diskret nerveimpuls, en spike, som propagerer ut til andre nerveceller via nervecellens axoner. Dette vil danne et dynamisk system med diskrete hendelser.

Boolsk differensialregning har også blitt utvidet til variable og funksjoner med flere verdier, og også nettverk av boolske funksjoner.

En Tsetlin-maskin vil bruke variable for å implementere læring i et nettverk av boolske funksjoner.

Oversikt

Boolske differensialoperatorer har en betydelig rolle i boolsk differensialregning. De gjør at differensialligninger, kjent fra klassisk matematisk analyse, kan utvides til logiske funksjoner.

Differensialene $d{x}_i$ av boolske variable $x_i$ modeller relasjonene:

$d{x}_i=\{\begin{array}{cc}0,& \text{ingen endring av}{x}_i\\ 1,& \text{endring av}{x}_i\end{array}$

Det er ingen begrensning i forhold til egenskapene, årsakene til endringer, og konsekvensene av endringer.

Differensialene $d{x}_i$ er binære, og kan brukes akkurat som vanlig binære variabler.

Litteratur

• Mal:Kilde artikkel (14 pages)
• Mal:Kilde bok (462 pages)
• Mal:Kilde artikkel (9 pages) Translation of: Mal:Kilde artikkel (9 pages)
• Mal:Kilde artikkel (18 pages)
• Mal:Kilde bok (NB. Also: Chemnitz, Technische Universität, Dissertation.) (147 pages)
• Mal:Kilde bok (15 pages)
• Mal:Kilde bok (392 pages)
• Mal:Kilde bok (xxii+232 pages) [1] Mal:Wayback
• Mal:Kilde artikkel (49 pages)
• Mal:Kilde bok In Mal:Kilde artikkel (24 of 153 pages)

Eksterne lenker

• Mal:Kilde www
• Mal:Kilde www med Mal:Kilde www