Brahmaguptas formel

Hjørnene i en syklisk firkant ligger på en sirkel.

Brahmaguptas formel gir arealet av en syklisk firkant uttrykt ved lengdene av de fire sidene i firkanten. I en syklisk firkant ligger alle hjørnene på en sirkel. Formelen er oppkalt etter den indiske matematiker Brahmagupta som levde på 600-tallet.

Kaller man sidelengdene i firkanten for a, b, c og d, kan dens areal skrives som

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

etter at man har innført den halve omkretsen til firkanten,

$s=\frac{1}{2}(a+b+c+d).$

Når en av sidene i firkanten blir forsvinnende liten, går den over til å bli en trekant. Formelen til Brahmagupta går da over i Herons formel som gir arealet til trekanten uttrykt ved dens sidelengder.

På 1800-tallet ble det vist at Bramhaguptas formel kunne utvides til å gjelde for en vilkårlig firkant.

Utledning

La lengden av sidene i firkanten være a, b, c og d. Arealet S av firkanten er da lik summen av arealene til de to trekantene ABD og BDC som vist i figuren. Ved bruk av formelen for arealet til en vanlig trekant, har man da

$S=\frac{1}{2}ab\sin A+\frac{1}{2}cd\sin C$

hvor A er vinkelen i hjørnet A og tilsvarende for C. I en syklisk firkant er summen av vinklene Mal:Nowrap som følger fra teoremet om periferivinkler. Derfor er Mal:Nowrap slik at arealet er gitt ved

$S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin A$

Vinklene A og C kan nå finnes fra cosinussetningen brukt på trekantene ABD og BDC. De har siden BD felles slik at

$a^2+b^2-2ab\cos A=c^2+d^2-2cd\cos C$

Da nå cosA = - cosC, følger herav at Mal:Nowrap. Dette resultatet for cosA kan nå benyttes i uttrykket for arealet til frikanten da

$S=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1+\cos A}\sqrt{1-\cos A}$

Settes her inn for Mal:Nowrap, får man

$\begin{array}{cc}S& =\frac{1}{4}\sqrt{2(ab+cd)+a^2+b^2-c^2-d^2}\sqrt{2(ab+cd)-a^2-b^2+c^2+d^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b{)}^2-(c-d{)}^2}\sqrt{(c+d{)}^2-(a-b{)}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)}\end{array}$

Dette er nå Brahmaguptas formel som sees ved å sette inn den halve omkretsen s = (a + b + c +d)/2 til firkanten.

Generalisering

I en vilkårlig firkant er vinkelen θ = (A + C)/2 ikke nødvendigvis nøyaktig lik 90° som i det sykliske tilfellet. Men den samme beregningen kan likevel benyttes til å gi resultatet

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\theta }$

for arealet av en alminnelig firkant. Det ble vist vist i 1842 av de tyske matematikerne Carl Anton Bretschneider og Karl von Staudt uavhengig av hverandre. Da summen av de indre vinklene i en firkant alltid er 360°, spiller det ingen rolle hvilke to motstående vinkler blir brukt i bestemmelsen av vinkelen θ.

Litteratur

• C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.