Carlyle-sirkelen
Carlyle-sirkelen brukes til å gi en geometrisk løsning av andregradsligningen. Dessuten kan den benyttes til konstruksjon av regulære mangekanter.
Allerede i det banebrytende arbeid La Géométrie viste Descartes at røttene til andregradsligningen Mal:Nowrap kunne noen ganger finnes ved en geometrisk konstruksjon. Men denne metoden ga ikke løsningene i det generelle tilfellet.
En forbedret fremgangsmåte ble funnet omtrent to hundre år senere av Thomas Carlyle. Han viste at koeffisientene i ligningen kunne brukes til å definere to punkt. De utgjør endepunktene til en diameter i en sirkel hvis skjæringspunkt med x-aksen er de søkte røttene til ligningen. Denne sirkelen har siden båret navnet til Carlyle.
Konstruksjon
Den generelle andregradsligningen kan skrives som Mal:Nowrap hvor Mal:Nowrap og Mal:Nowrap Ved å betrakte punktene A = (0,1) og B = (s,p) som endepunktene til en diameter i en sirkel, kan denne konstrueres. I et kartesisk koordinatsystem er ligningen for sirkelen Mal:Nowrap Den har skjæringspunkt med x-aksen som finnes ved her å sette Mal:Nowrap. Dermed fremkommer andregradsligningen slik at dens røtter er gitt ved skjæringspunktene Mal:Nowrap og Mal:Nowrap
Da potensen til punktet O i figuren er Ox1⋅Ox2 = x1x2 = OA⋅OB' = p og skjæringspunktene ligger symmetrisk om sirkelens sentrum M, må man også ha at Mal:Nowrap Disse sammenhengene mellom røttene er i overensstemmelse med den algebraiske løsningen
Andregradsligningen kan derfor uttykkes ved nullpunktene som Mal:Nowrap. Når p > 0 ligger begge røttene på samme side av origo som i figuren. Dette er hvor Descartes' metode kan benyttes. I det motsatte tilfellet p < 0 ligger punktet B under x-aksen, og røttene har motsatte fortegn. En forutsetning for at de er reelle, er Mal:Nowrap Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, vil sirkelen ikke skjære x-aksen og begge røttene er komplekse.
Litteratur
- B. Bold, Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Books, New York (1982). ISBN 0-486-24297-8.