Cramers regel

I lineær algebra er Cramers regel et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer.

Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Introduksjon til analyse av algebraiske kurver). Også Colin Maclaurin beskrev metoden i avhandlingen Treatise of Algebra, utgitt i 1748.

Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet.

Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt. Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.

Cramers regel for et 2 × 2 system

Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

$\begin{array}{cc}ax+by& =e\\ cx+dy& =f\end{array}.$

På matriseform skrives ligninssystemet som

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right].$

De to ukjente x og y er gitt ved Cramers regel som

$x=\left|\begin{array}{cc}e& b\\ f& d\end{array}\right|/\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\frac{ed-bf}{ad-bc}$

$y=\left|\begin{array}{cc}a& e\\ c& f\end{array}\right|/\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=\frac{af-ec}{ad-bc}.$

Cramers regel for et 3 × 3 system

Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

$\begin{array}{cc}ax+by+cz& =j\\ dx+ey+fz& =k\\ gx+hy+iz& =l\end{array}.$

Matriseforma er

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}j\\ k\\ l\end{array}\right]$

Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente x og y og z er gitt ved

$x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}j& b& c\\ k& e& f\\ l& h& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|},y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& j& c\\ d& k& f\\ g& l& i\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|},z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}a& b& j\\ d& e& k\\ g& h& l\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|}.$

Cramers regel for et generelt system

Et generelt ligningssystem med n ligninger og n ukjente kan skrives på matriseforma

$A𝐱=𝐛$

Matrisen A er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til A er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer. Kolonnevektoren x = (x₁, ..., x_n)^T inneholder de ukjente i ligningssystemet.

Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

$x_k=\frac{\det A_k}{\det A}k=1,\dots ,n$

der A_k er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer k i matrisen A med kolonnevektoren b.

Litteratur

• Mal:Kilde bok

• Mal:Kilde bok

Mal:Lineær algebra Mal:Matematikk Mal:Autoritetsdata