Deltametoden

Deltametoden er innen statistikk en metode for å lage en tilnærmet sannsynlighetsfordeling for funksjonen av en testobservator. Metoden kan også regnes som en generalisering av sentralgrenseteoremet,

Envariabel deltametode

Anta en følge av tilfeldige variable $X_n$ som tilfredsstiller

$\sqrt{n}(X_n-\theta )\stackrel{L}{\to }N(0,{\sigma }^2)$

der $\theta$ og ${\sigma }^2$ er konstanter, og $\stackrel{L}{\to }$ betyr konvergens i distribusjon/lov. Anta at $g()$ er en kontinuerlig funksjon, så vil

$\sqrt{n}(g(X_n)-g(\theta ))\stackrel{L}{\to }N(0,{\sigma }^2[g^{\prime }(\theta ){]}^2)$

Bevis i envariabeltilfellet

For en kontinuerlig funksjon $g$, sier middelverdisetningen at

$g(X_n)=g(\theta )+g^{\prime }(\tilde{\theta })(X_n-\theta )$

hvor $\tilde{\theta }$ ligger mellom $X_n$ og $\theta$. Siden $X_n\stackrel{P}{\to }\theta$ må også $\tilde{\theta }\stackrel{P}{\to }\theta$. Hvis vi omarrangerer likningen litt og ganger med $\sqrt{n}$ får vi

$\sqrt{n}(g(X_n)-g(\theta ))=g^{\prime }(\theta )\sqrt{n}(X_n-\theta )$

og ettersom $\sqrt{n}(X_n-\theta )\stackrel{P}{\to }N(0,{\sigma }^2)$ må $g^{\prime }(\theta )\sqrt{n}(X_n-\theta )\stackrel{P}{\to }N(0,{\sigma }^2[g^{\prime }(\theta ){]}^2)$ og beviset er fullført.

Eksempel

Man ønsker ofte å utføre hypotesetester for parametere i sannsynlighetsfordelinger. I poissonfordelingen betyr dette å teste hypotesen om $\lambda ={\lambda }_0$ mot $\lambda \ne \hat{\lambda }$. Der $\hat{\lambda }$ er den observerte, eller estimerte parameteren. Sentralgrenseteoremet gir da at

$\sqrt{n}(\hat{\lambda }-{\lambda }_0)\sim N(0,{\lambda }_0)$

Problemet med denne testobservatoren er at variansen avhenger helt og holdent på $\lambda$. Så spredningen i estimatet avhenger av parameteren vi prøve å estimere. Dette problemet kan man komme rundt med deltametoden. Bruk at $g(\lambda )=\sqrt{\lambda }$:

$\sqrt{n}(\sqrt{(}\hat{\lambda }-\sqrt{{\lambda }_0})\sim N(0,{\lambda }_0\frac{1}{(2\sqrt{{\lambda }_0}{)}^2})=N(0,\frac{1}{4})$

Litteratur

• E. L. Lehman (1998), Elements of Large Sample Theory, Springer