Ducci-sekvens

Mal:Referanseløs En Ducci-sekvens is er en sekvens av tallrekker satt sammen av heltall. Gitt en tallrekke $(a_1,a_2,...,a_n)$ lages en ny tallrekke, eller n-tuppel ved å ta den absolutte differansen:$(|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,...,|a_n-a_1|).$

Sagt på en annen måte, så setter vi $n$ tall rundt en sirkel og lager en ny sirkel av tall ved å ta differansen mellom hvert par av tall. Vi ignorer deretter negative fortegn og gjentar prosessen.

Det har blitt bevist at man vil alltid nå sekvensen (0,0,...,0) i et endelig antall steg hvis $n$ er en potens av 2.

Siden $n$ er et endelig tall er det ikke til å komme utenom at sekvensen må begynne å gjenta seg selv etter en stund. Det er bevist at hvis $n$ ikke er en potens av to vil Ducci-sekvensen enten gå mot bare nuller eller gå inn i en løkke med det man har kalt "binære" n-tupler, det vil si tallrekker som bare inneholder to forskjellige tall. Ducci sekvenser er også kjent som the n-numbers game og konseptet har blitt utvidet med mer generelle resultater

Eksempelsekvenser

Denne 5-tuppel sekvensen går etter 7 steg inn i en binær løkke med periode på 15 steg.

$\begin{array}{c}15799\\ 42208\\ 20284\\ 22642\\ 04220\\ 42020\\ 22224\end{array}$

$\begin{array}{c}00022\\ 00202\\ 02222\\ 20002\\ 20020\\ 20222\\ 22000\\ 02002\\ 22022\\ 02200\\ 20200\\ 22202\\ 00220\\ 02020\\ 22220\end{array}$

$\begin{array}{c}00022\\ 00202\\ ......\end{array}$

Den følgende sekvensen har lengde 6 som ikke er en potens av to, men den ender likevel opp med bare nuller.

$\begin{array}{c}121210\\ 111111\\ 000000\\ ......\end{array}$

Kilder

• Ducci Sequence Mal:Wayback