Einstein-forhold (kinetisk teori)

Einstein-forholdet (også kjent som Wright-Sullivan-forholdet) er i fysikk (spesielt den kinetiske teorien om gasser) en tidligere uventet forbindelse avslørt uavhengig av William Sutherland i 1904, Albert Einstein i 1905, og av Marian Smoluchowski i 1906 i deres arbeid på Brownsk bevegelse. Den mer generelle formen på ligningen er

$D=\mu k_{\text{B}}T,$

hvor

D er diffusjonskoeffisienten;

μ er "mobiliteten", eller forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og en påført kraft, μ = v_d/F;

k_B er Boltzmanns konstant;

T er den absolutte temperaturen.

Denne ligningen er et tidlig eksempel på et forhold mellom svingninger og spredning.

To ofte brukte viktige spesielle former for forholdet er:

$D=\frac{{\mu }_q{k}_{\text{B}}T}{q}$ (elektrisk mobilitetsligning, for diffusjon av ladede partikler)

$D=\frac{k_{\text{B}}T}{6\pi \eta r}$ (Stokes-Einstein-ligning, for diffusjon av sfæriske partikler gjennom en væske med lavt Reynolds-antall) Hvor

• q er den elektriske ladningen til en partikkel;
• μ_q er den elektriske mobiliteten til den ladede partikkelen;
• η er den dynamiske viskositeten;
• r er radien til den sfæriske partikkelen.

Spesielle tilfeller

Elektrisk mobilitetsligning

For en partikkel med elektrisk ladning q, dets elektriske mobilitet μ_q er relatert til den generelle mobiliteten μ ved ligningen μ = μ_q/q. Parameteren μ_q er forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og et påført elektrisk felt. Derfor blir ligningen i tilfelle av en ladet partikkel gitt som

$D=\frac{{\mu }_q{k}_{\text{B}}T}{q},$

hvor

• $D$ er diffusjonskoeffisienten (${\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$).
• ${\mu }_q$ er den elektriske mobiliteten(${\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}{\mathrm{V}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$).
• $q$ er den elektriske ladningen til partikkel (C, coulomb)
• $T$ er elektrontemperaturen eller ionetemperaturen i plasma (K).

Hvis temperaturen er gitt i Volt, som er mer vanlig for plasma:

$D=\frac{{\mu }_{q}T}{Z},$

hvor

• $Z$ er ladetallet på partikkelen (enhetsløs)
• $T$ er elektrontemperatur eller ionetemperatur i plasma (V).

Stokes–Einstein ligning

I grensen for lavt Reynolds-tall er mobiliteten μ den omvendte av dragkoeffisienten$\zeta$. En dempende konstant$\gamma =\zeta /m$ brukes ofte for den omvendte momentumavslappingstiden (tid som trengs for at treghetsmomentet blir ubetydelig sammenlignet med det tilfeldige momenta) til det diffusive objektet. For sfæriske partikler med radius r, Stokes lov gir

$\zeta =6\pi \eta r,$

hvor $\eta$ er viskositeten til mediet. Dermed resulterer forholdet Einstein-Smoluchowski i forholdet Stokes-Einstein

$D=\frac{k_{\text{B}}T}{6\pi \eta r}.$

Dette har blitt brukt i mange år for å estimere selvdiffusjonskoeffisienten i væsker, og en versjon i samsvar med isomorfteorien er bekreftet av datasimuleringer av Lennard-Jones-systemet.

I tilfelle rotasjonsdiffusjon er friksjonen ${\zeta }_{\text{r}}=8\pi \eta r^3$, og rotasjonsdiffusjonskonstanten $D_{\text{r}}$ er

$D_{\text{r}}=\frac{k_{\text{B}}T}{8\pi \eta r^3}.$

Halvleder

I en halvleder med en vilkårlig tilstandstetthet, dvs. et forhold mellom formen $p=p(\phi )$ mellom tettheten til hull eller elektroner $p$ og tilsvarende kvasi Fermi-nivå (eller elektrokjemisk potensial) $\phi$, Einstein-forholdet er

$D=\frac{{\mu }_{q}p}{q\frac{dp}{d\phi }},$

hvor ${\mu }_q$ er den elektriske mobiliteten. Et eksempel som antar en parabolsk dispersjonsforhold for tilstandstettheten og Maxwell-Boltzmann-statistikken, som ofte brukes til å beskrive uorganiske halvledermaterialer, kan man beregne (se tilstandstetthet):

$p(\phi )=N_0{e}^{\frac{q\phi }{k_{\text{B}}T}},$

hvor $N_0$ er den totale tettheten av tilgjengelige energitilstander, som gir den forenklede relasjonen:

$D={\mu }_q\frac{k_{\text{B}}T}{q}.$

Nernst-Einstein ligningen

Ved å erstatte diffusivitetene i uttrykkene for elektriske ioniske mobiliteter av kationene og anionene fra uttrykkene for ekvivalent ledningsevne til en elektrolytt, blir Nernst-Einstein ligningen avledet:

${\mathrm{\Lambda }}_e=\frac{z_i^2{F}^2}{RT}(D_{+}+D_{-}).$