Euler-ligningene

Mal:Kildeløs Eulerligningene styrer bevegelsen til en kompressibel og ikke-viskøs væske i væskedynamikken. Ligningene er en enklere form av Navier-Stokes-ligningene med null viskositet og varmekonduksjon, men blir vanligvis skrevet slik som her, fordi de direkte representerer bevaring av masse, bevegelsesmengde og energi. Ligningene har fått navn etter Leonhard Euler. I denne artikkelen tenker vi oss at den klassiske mekanikken gjelder, se relativistiske Eulerligninger for en diskusjon av kompressible væsker når farten nærmer seg lysfarten.

På differensial form er ligningene:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)=0$

$\frac{\partial \rho 𝐮}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐮)𝐮+\mathrm{\nabla }p=0$

$\frac{\partial E}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (𝐮(E+p))=0$

der $E=\rho e+\rho (u^2+v^2+w^2)/2$ er den totale energien per volum ($e$ er den indre energien per masse for væsken), $p$ er trykket, $u$ er væskens fart og $\rho$ tettheten. Den andre ligningen inkluderer divergens av en binær tensor, og er kanskje klarere i indeksnotasjon:

$\frac{\partial \rho u_j}{\partial t}+\frac{\partial \rho u_i{u}_j}{\partial x_i}+\frac{\partial p}{\partial x_j}=0$

Merk at ligningene over er uttrykt på bevaringsform, siden denne formen legger vekt på det fysiske opphavet deres (og er den enkleste formen for datasimuleringer av væskedynamikk). Bevegelsesmengdekomponenten i Eulerligningene blir vanligvis uttrykt som:

$\rho (\frac{\partial }{\partial t}+𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮+\mathrm{\nabla }p=0$

men denne formen skjuler den direkte sammenhengen mellom Eulerligningene og Newtons andre bevegelsesligning (særlig er det ikke intuitivt hvorfor denne ligningen er korrekt og $(\partial /\partial t+𝐮\cdot \mathrm{\nabla })(\rho 𝐮)+\mathrm{\nabla }p=0$ ikke er korrekt).

I bevaringsvektorform blir Eulerligningene

$\frac{\partial U}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial y}+\frac{\partial H}{\partial z}=0$

der

$U=\left(\begin{array}{c}\rho \\ \rho u\\ \rho v\\ \rho w\\ E\end{array}\right)F=\left(\begin{array}{c}\rho u\\ p+\rho u^2\\ \rho uv\\ \rho uw\\ u(E+p)\end{array}\right)G=\left(\begin{array}{c}\rho v\\ \rho uv\\ p+\rho v^2\\ \rho vw\\ v(E+p)\end{array}\right)H=\left(\begin{array}{c}\rho w\\ \rho uw\\ \rho vw\\ p+\rho w^2\\ w(E+p)\end{array}\right).$

Denne formen viser at $F,G,H$ er flukser.

Ligningen over representerer altså bevaring av masse, tre komponenter av bevegelsesmengde, og energi. Det er derimot fem ligninger og seks ukjente. For å få en lukket problemstilling må man bruke tilstandsligningen, og den mest vanlige formen av denne er den ideelle gassloven (f.eks. $p=\rho (\gamma -1)e$, der ρ er tettheten, γ er en adiabatisk indeks, og e den indre energien).

Det ekstra leddet som har med p kan tolkes som det mekaniske arbeidet som et væskeelement gjør på væskeelementene rundt. Disse leddene blir summert opp til null i en inkompressibel væske.

Den mer kjente Bernoulliligningen kan utledes ved å integrere Eulerligningene langs en strømlinje, hvis man setter tettheten til å være konstant. Mal:Autoritetsdata