Funksjonalanalyse

Funksjonalanalysen er en gren av den matematiske analysen og kan beskrives som studiet av topologiske vektorrom og kontinuerlige lineæravbildninger mellom dem.

Topologiske vektorrom

Et topologisk vektorrom er et vektorrom $V$ over en topologisk kropp $𝕂$ (som regel er $𝕂$ enten $ℂ$ eller $ℝ$ med topologiene gitt av absoluttverdiene på disse kroppene) med en topologi slik at strukturavbildningene

$X\times X,(x,y)\mapsto x+y$

$𝕂\times X,(\alpha ,x)\mapsto \alpha x$

er kontinuerlige. Sentrale eksempler på topologiske vektorrom er Banach-rom, Hilbert-rom og lokalt konvekse rom. Det følger eksempelvis av trekantulikheten at et normert rom er et topologisk vektorrom.

Kontinuerlige lineæravbildninger

Lineæravbildninger mellom de endeligdimensjonale rommene ${ℝ}^n$ og ${ℂ}^n$er automatisk kontinuerlige. Dette er derimot ikke lenger tilfelle i uendeligdimensjonale rom. For en lineæravbildning $T:X\to Y$ mellom normerte rom er følgende ekvivalent:

1. $T$ er begrenset, det vil si at det finnes en konstant $K$ slik at $\Vert T(x)\Vert \le K\Vert x\Vert$ for alle $x\in X.$
2. $T$ er kontinuerlig.
3. $T$ er kontinuerlig i 0.
4. $T$ er uniformt kontinuerlig.