Gauss-integral

Grafisk fremstilling av Gauss-kurven i blått. Gauss-integralet gir størrelsen til arealet i rødt under kurven.

Gauss-integralet gir arealet under Gauss-kurven y = e^−x2. I tillegg til å være av betydning i forskjellige deler av matematikken, har det mange anvendelser i sannsynlighetsregning, statistisk mekanikk, kvantemekanikk og kvantefeltteori. Integralet er definert som

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

og gir opphav til mange andre, relaterte integraler. Dets navn er knyttet til Carl Friedrich Gauss selv om flere andre matematikere som Leonhard Euler, Pierre-Simon Laplace og Siméon Denis Poisson var kjent med det.

Beregning

Det er ikke mulig å beregne det gaussiske integralet I  direkte fra de vanligste reglene for integrasjon. Men det lar seg gjøre fra det dobbelte integralet

$I_0^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$

som kan beregnes ved å innføre polarkoordinater x = r cosθ og y = r sinθ. Det gir

$I_0^2=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\theta \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}drr{e}^{-r^2}=2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi$

hvor verdien til den radielle integrasjonen følger fra eksponentialfunksjonen ved å innføre t = r² som ny integrasjonsvariabel. Dermed har man verdien Mal:Nowrap av Gauss-integralet.

Relaterte integral

Ved et skifte av integrasjonsvariabel har Gauss-integralet på litt mer generell form verdien

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a{x}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$

Tar man her den deriverte av begge sider med hensyn på parameteren a, finner man at

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}\frac{1}{2a}$

Fortsatte derivasjoner gir verdien av mer kompliserte integral.

En videre generalisering av Gauss-integralet er

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{e}^{-a{x}^2+bx}=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{b^2/4a}$

som fremkommer ved å skrive eksponenten som et fullstendig kvadrat,

$a{x}^2-bx=a(x-b/2a{)}^2-\frac{b^2}{4a}$

og så skifte integrasjonsvariabel til y = x - b/2a.

Sammenheng med gammafunksjonen

Ved å bruke t = x² som ny variabel i Gauss-integralet, tar det formen

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{t}^{-1/2}{e}^{-t}=\mathrm{\Gamma }(1/2)$

Det er derfor ekvivalent med den spesielle verdien Γ(1/2) = √π  for gammafunksjonen.

Mer generelle Gauss-integral kan gjøres på samme måte ved bruk av gammafunksjonen. For eksempel,

$I_{2n}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx{x}^{2n}{e}^{-x^2}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{t}^{n-1/2}{e}^{-t}=\mathrm{\Gamma }(n+1/2)$

igjen etter substitusjonen x → t = x² slik at dt = 2xdx. For n = 1 gir dette Mal:Nowrap = Mal:Nowrap = √π /2 i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.

Se også

• Normalfordeling
• Gammafunksjon

Litteratur

• T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-1502-710-4.
• M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker

• K. Conrad, University of Connecticut, The Gaussian Integral