Kategori (matematikk)

Mal:Kildeløs I matematikken kan egenskaper til mange matematiske systemer uttrykkes ved hjelp av diagrammer bestående av piler. Ved å innføre kategorier kan man formalisere denne ideen.

Definisjon

En kategori $𝒞$ består av en klasse objekter og for hvert par $a,b$ av objekter en mengde $𝒞(a,b)$ av morfier fra $a$ til $b$ og for hvert trippel $a,b,c$ av objekter en sammensettingsfunksjon $\circ :𝒞(b,c)\times 𝒞(a,b)\to 𝒞(a,c)$ slik at følgende aksiomer holder

• Assosiativitet av sammensetningen: Hvis $f\in 𝒞(a,b)$, $g\in 𝒞(b,c)$ og $h\in 𝒞(c,d)$, så er $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.
• Enhet: For hvert objekt $a$ finnes en identitetsmorfi $1_a\in 𝒞(a,a)$, og $f\circ 1_a=f$ og $1_a\circ g=g$.

Eksempler

• Mengder og funksjoner er en kategori.
• Topologiske rom og kontinuerlige funksjoner er en kategori.
• En kategori med kun ett objekt er en monoide.