Konveks mengde
En konveks mengde er en mengde i et vektorrom der et hvert linjestykke mellom to punkt i mengden er inneholdt fullt og helt i mengden.
Omkretsen til en konveks mengde i planet R2 vil alltid være rett eller krumme ut fra mengden.
En mengde som ikke er konveks sies å være ikke-konveks.
Formell definisjon
La S være en undermengde av et vektorrom og la x og y være to vektorer i S. Mengden S er konveks dersom
for alle verdier av koeffisienten a mellom 0 og 1.
Eksempler
En sirkel i planet er konveks. En månesigd er ikke-konveks.
I vektorrommet av reelle funksjoner av reell variabel er den følgende undermengden konveks:
Egenskaper
- Et hvert underrom av et vektorrom er konveks.
- Snittet av to konvekse mengder er konveks.
- Summen av to konvekse mengder er konveks.
Konveks hull
Det konvekse hullet til en vilkårlig undermengde S av et vektorrom er den minste konvekse mengden som inneholder S. Det konvekse hullet til S skrives som Co(S) eller Conv(S).
Den minste mengden betyr i denne sammenhengen at Co(S) ikke inneholder noen ekte undermengder som inneholder S.
Det konvekse hullet til en mengde vil alltid eksistere.
Det konvekse hullet til S er snittet av alle konvekse mengder som inneholder S.
Konvekse reelle funksjoner
En reell funksjon er konveks dersom mengden over grafen til funksjonen er konveks.