Kvadratsetningene

(a+b)²=a²+2ab+b²

Det finnes to kvadratsetninger, og dessuten den noe beslektede konjugatsetningen. De er nyttige å kunne både fremlengs og baklengs, for å gjøre både algebra og hoderegning enklere.

1. Kvadratsetning

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

2. Kvadratsetning

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Konjugatsetningen

Vi regner ikke her ut noe kvadrat, men en differanse mellom to kvadrater. Denne setningen blir ofte feilaktig kalt 3. kvadratsetning.

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Fullstendig kvadrat

Mal:Hovedartikkel Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som kan faktoriseres ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket $x^2+bx+c$ er et fullstendig kvadrat dersom $(b/2{)}^2=c$. Da er $x^2+bx+c=(x+b/2{)}^2$ .

Dersom en har et uttrykk som ikke akkurat passer med en av de to første kvadratsetningene kan man utvide dem til fullstendig kvadrater.

$x^2-6x+4$

Vi lager et fullstendig kvadrat:

$=x^2-6x+(6/2{)}^2-(6/2{)}^2+4$

$=x^2-6x+3^2-9+4$

$=(x-3{)}^2-5$

Generalisert fullstendig kvadrat

Et generelt andregradsuttrykk kan skrives som et generelt fullstendig kvadrat på følgende måte

$a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+c-\frac{b^2}{4a}$

Mer generelt, om $n$ er et positivt heltall, så

$a{x}^{2n}+b{x}^n+c=a{(x^n+\frac{b}{2a})}^2+c-\frac{b^2}{4a}$

Hoderegning

God kunnskap til kvadratsetningene kan gjøre vanlig hoderegning enklere. Fremgangsmåten er å se på ulike multiplikasjonsoppgaver som en kvadratsetning. Eksempler:
$19*21=(20-1)(20+1)=20^2-1^2=399$
$31*31=31^2=(30+1{)}^2=30^2+2*30*1+1^2=900+60+1=961$

Se også

• Kuberingssetningene
• Binomialformelen

Kilder

• «Kvadratsetningene», fra matematikk.org