Legendre-transformasjon

En Legendre-transformasjon er i matematikken en metode for å omskrive en konveks funksjon av en variabel til en ny funksjon av den deriverte av den opprinnelige funksjonen. Den ble funnet i 1787 av den franske matematiker Adrien-Marie Legendre i forbindelse med hans interesse for såkalte minimale flater som han ville beskrive ved hjelp av deres tangentplan.

Definisjon

Den Legendre-transformerte er gitt ved skjæringspunktet g(p) med y-aksen for tangenten med stigningstall p i punktet (x,y) tll den gitte funksjonen y(x).

En kontinuerlig funksjon y = y(x) er konveks når dens deriverte er en økende funksjon av den variable x. Det er ekvivalent med å si at den andrederiverte av funksjonen alltid er positiv. Det eksisterer da en entydig sammenheng mellom x og den deriverte p = dy/dx. Dette er en implisitt ligning som gir Mal:Nowrap. Man kan nå konstruere en ny og ekvivalent funksjon som har p som argument ved å betrakte den rette linjen som er tangent til y = y(x) i punktet (x,y). Denne linjen skjærer y-aksen i punktet Mal:Nowrap. For hvert argument x vil den deriverte ha en verdi p som gir en entydig verdi

$g=y-px$

som vist geometrisk i figuren til høyre. Man kan derfor betrakte g = g(p) som en funksjon av p når man benytter at Mal:Nowrap. Dette er den Legendre-transformerte funksjonen g(p) er den opprinnelige funksjonen y(x). De to variable x og p sies ofte å være konjugerte med hverandre. Man kan også definere den Legendre-transformerte med motsatt fortegn av hva som er valgt her.

Tar man differensialet av den nye funksjonen g = g(p), finner man dg = dy - pdx - xdp. Men nå er per definisjon Mal:Nowrap slik at Mal:Nowrap. Derfor har man det viktige resultatet at x = - dg/dp som tilsvarer at p = dy/dx for den konjugerte variable.

Eksempel

Funksjonen y = x² kan benyttes til å gi en enkel illustrasjon av transformasjonen. I dette tilfellet er Mal:Nowrap. Sammenhengen mellom x og p blir da ganske enkelt x = p/2. Uttrykt ved den opprinnelige variable, blir den transformerte funksjonen derfor Mal:Nowrap. Dette resultatet kan nå skrives som en funksjon av den konjugerte variable, g(p) = - (p/2)² = - p²/4. Man sjekker nå lett at den Legendre-transformerte av denne funksjonen, er den opprinnelige.

Funksjon av flere variable

Ofte inneholder den gitte funksjonen ekstra variable som ikke inngår direkte i transformasjonen. De sies å være passive. Med en ekstra variabel er da Mal:Nowrap hvor t er en passiv variabel. Tangenten i x-retning har nå helningskoeffisient gitt ved den partiellderiverte Mal:Nowrap som beregnes ved å holde t konstant under derivasjonen. Igjen kan man definere en Legendre-transformert funksjon ved Mal:Nowrap. I differensialet Mal:Nowrap er nå Mal:Nowrap slik at man finner

$dg=(\frac{\partial y}{\partial x}-p)dx-xdp+\frac{\partial y}{\partial t}dt$

Her er det første leddet lik null som følge av definisjonen Mal:Nowrap. Dermed har man at Mal:Nowrap. Funksjonen g kan derfor betraktes som en funksjon av den nye variable p samt den passive variable t, det vil si at Mal:Nowrap. Videre ser man at denne nye funksjonen har Mal:Nowrap og Mal:Nowrap som er viktige relasjoner i praktiske anvendelser. Denne konstruksjonen kan opplagt utvides til å gjelde for funksjoner med flere passive variable.

Eksempel

En enkel funksjon med en passive variabel er y = tx lnx som er konveks når x > 0. Da blir Mal:Nowrap. Løses denne ligningen med hensyn på x, finner man at Mal:Nowrap. Dermed blir

$g=f-xp=tx\ln x-xt(1+\ln x)=-xt$

som gir

$g(p,t)=-\frac{t}{e}{e}^{p/t}$

når man setter inn for x. Dette er den Legendre-transformerte funksjonen. Med dette resultatet kan man nå sjekke at Mal:Nowrap som forventet. Videre er Mal:Nowrap som er akkurat ∂y/∂t.

Anvendelser

Transformasjonen ble etablert av Legendre for å løse rent matematiske problemer han var konfrontert med. Fremdeles har den mange anvendelser innen ren matematikk. I fysikken blir Legendre-transformasjoner benyttet spesielt innen klassisk mekanikk og termodynamikk.

Termodynamikk

En differensiell økning dU av den indre energien til et system i termisk likevekt som skyldes forandringene dV av dets volum og dS av dets entropi, er forbundet gjennom termodynamikkens andre hovedsetning. Denne kan matematisk skrives som

$dU=-PdV+TdS$

hvor P er trykket som systemet er utsatt for og T er temperaturen det har. Dette er et uttrykk for energiens bevarelse. Man kan derfor betrakte den indre enrgien som en funksjon U = U(S,V) hvor P = - (∂U/∂V)_S  og T = (∂U/∂S)_V . Dette gjør det mulig å gjennomføre to forskjellige Legendre-transformasjoner. Enten kan man erstatte volumet V  med den konjugerte variable som er trykket P, eller man kan erstatte entropien S  med den konjugerte variable som er temperaturen T.

I det første tilfellet får man da H = U + PV  som er entalpien til systemet slik at H = H(S,P)  med V = (∂H/∂P)_S  som følger fra definsjonen av den Legendre-transformerte. Videre er Mal:Nowrap da S  er en passiv variabel. Den andre muligheten gir Mal:Nowrap hvor F = F(T,V)  er Helmholtz fri energi. Da vil Mal:Nowrap og Mal:Nowrap da volumet V  denne gangen er passiv.

Denne frie energien kan man nå Legendre-transformeres videre ved å erstatte V med den konjugerte trykkvariable P. Det gir Mal:Nowrap som er Gibbs fri energi G = G(T,P)  med deriverte Mal:Nowrap og Mal:Nowrap. Alle disse relasjonene mellom variable og tilsvarende deriverte som følger så direkte fra Legendre-transformasjonen, spiller en viktig rolle i beregninger av praktiske konsekvenser av de termodynamiske lover.

Mekanikk

De mekaniske lovene kan formuleres på to tilsynelatende, forskjellige måter. Hvis man benytter Lagrange-mekanikk, kan de alle utledes fra Lagrange-funksjonen for systemet. Hvis man betrakter bare en dynamisk variabel q som varierer med tiden t, er Lagrange-funksjon Mal:Nowrap hvor den deriverte Mal:Nowrap er en generalisert hastighet. Fra prinsippet om minste virkning følger da bevegelsesligningen

$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q^{\prime }}\right)=0$

som er en differensialligning av andre orden i tiden. Det siste leddet inneholder Mal:Nowrap som er definert som den kanoniske impulsen for systemet. Bevegelsesligningen kan derfor skrives som Mal:Nowrap.

Ut fra definisjonen for impulsen ser man at Lagrange-funksjonen kan Legendre-transformeres til en ny funksjon Mal:Nowrap hvor man erstatter en hastighetsvariabel q'  med en impulsvariabel Mal:Nowrap. Den transformerte funksjonen er da H = H(q,p,t) og kalles for Hamilton-funksjonen for systemet. Da q er en passive variabel under denne transformasjonen, vil Mal:Nowrap når man passer på at denne Legendre-transformasjonen har motsatt fortegn av hva som ble benyttet over. Av samme grunn vil derfor Mal:Nowrap.

Hamilton-mekanikk er dermed ikke noe annet enn Legendre-transformert Lagrange-mekanikk. I stedet for å ha en andreordens differensialligning å løse, kan man da i stedet benytte de to førsteordens differensialligningene

$\frac{dq}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p},\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q}$

for å beregne bevegelsen. Mange ganger kan dette være enklere selv om fysikken er den samme. Dette er Hamiltons bevegelsesligninger og kan lett generaliseres for systemer med et vilkårlig antall dynamiske variable.

Litteratur

• M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker

• MathWorld: Legendre Transformation