Linjekoordinater

Linjen y = 2 - x/2 i planet har ikke-homogene linjekoordinater (-1/2, 2).

Linjekoordinater benyttes i analytisk geometri til å angi retning og posisjon for en rett linje i planet eller rommet på samme måte som vanlige punktkoordinater benyttes til å angi posisjonen til et punkt.

Linjekoordinater ble innført av Julius Plücker på midten av 1800-tallet. I dag benyttes de innen robotikk og CAD.

Rette linjer

En linje i planet med kartesiske koordinater {x, y } kan beskrives ved ligningen Mal:Nowrap. Her angir a stigningstallet og b gir skjæringspunktet med y-aksen der Mal:Nowrap. Dermed kan (a, b ) sies å være koordinatene for slike linjer på samme måte som (x, y ) er koordinatene til et punkt.

Mens den lineære ligningen Mal:Nowrap beskriver punkt langs en rett linje med koordinater (a, b ), kan man også betrakte den når punktet (x, y ) holdes fast. Løsningene vil da gi koordinatene (a, b ) for alle linjer som går gjennom dette punktet.

En kurve i planet fremkommer når punktkoordinatene oppfyller en ligning f(x,y ) = 0 som har en løsning Mal:Nowrap. Alternativt kan man anta at kurven kan uttrykkes ved en parameter t  slik at Mal:Nowrap og Mal:Nowrap. På samme måte vil løsningen til en ligning Mal:Nowrap mellom de to linjekoordinatene kunne skrives på parameterform som Mal:Nowrap og Mal:Nowrap. Den beskriver de rette linjene Mal:Nowrap som utgjør en linjeskare. De danner omhyllingskurven som tilsvarer ligningen mellom de to linjekoordinatene..

Homogene koordinater

De to linjekoordinatene (a, b ) i planet er mangelfulle da de ikke kan beskrive linjer parallelle med y-aksen. Det kan gjøres ved å innføre en tredje koordinat slik at en rett linje skrives som

$ux+vy+w=0$

Nå vil linjekoordinatene (u, v, w ) kunne angi alle linjer med både retning og posisjon i planet. Men multipliseres de med en konstant k, vil (ku, kv, kw ) angi den samme linjen som (u, v, w ). De sies derfor å være homogene linjekoordinater av samme type som benyttes i projektiv geometri.

Som et eksempel har linjen y = 2 - x/2 de homogene linjekoordinatene (1/2, 1, -2) som er ekvivalent med (1, 2, -4) eller (-3, - 6, 12) og uendelig mange andre verdier.

Projektivt plan

I det projektive planet RP² definerer to punkt en linje på samme måte som at alle linjer har et skjæringspunkt. Linjer som skjærer hverandre uendelig langt borte, erstatter parallelle linjer i euklidsk geometri. Hvert punkt kan entydig angis ved tre homogene punktkoordinater (x, y, z ). Mens punkter som ligger i det uendelige fjerne, er gitt ved Mal:Nowrap, kan punkter i den endelige delen av planet angis ved å velge Mal:Nowrap da disse koordinatene er homogene.

Ligningen for en rett linje i dette planet er gitt ved

$ux+vy+wz=0$

der (u, v, w ) ≠ (0, 0, 0) er de tre homogene linjekoordinatene for linjen. Punkter i det uendelige fjerne ligger på linjen (0, 0, 1), mens x-aksen er gitt ved linjen (0, 1, 0) og y-aksen har linjekoordinatene (1, 0, 0).

Linjer i rommet

På parameterform kan en linje i rommet skrives som Mal:Nowrap hvor vektoren n angir dens retning og punktet r₀  ligger på linjen. Når rommet har tre dimensjoner, behøves det derfor i utgangspunktet 3 + 3 = 6 variable eller koordinater for å spesifisere den. Men retningen n behøver bare to koordinater, mens punktet r₀  kan flyttes til andre punkt på samme linje. Det har derfor også en mindre frihetsgrad slik at man i alt har 2 + 2 = 4 uavhengige linjekoordinater i tre dimensjoner.

Plücker bestemte disse koordinatene fra linjens projeksjoner på to av de tre kartesiske koordinatflatene. Velges disse å være xz- og yz-planene, er projeksjonene gitt ved de to ligningene

$x=rz+\rho ,y=sz+\sigma$

hvor (r, s, ρ, σ ) er Plücker-koordinatene for den tredimensjonale linjen.

Disse koordinatene kan bestemmes ved å angi to punkt Mal:Nowrap og Mal:Nowrap som ligger på den. Plücker kunne uttrykke resultatet ved komponentene til de to vektorene Mal:Nowrap og Mal:Nowrap. Her gir n retningen i rommet til linjen, mens komponentene til m angir størrelsen av projeksjonene på de tre koordinatflatene av trekanten som punktene x og y danner med origo. Denne vektoren inneholder derfor informasjon om avstanden til linjen fra origo. Man har dermed Mal:Nowrap, Mal:Nowrap, Mal:Nowrap og Mal:Nowrap slik at de seks komponentene (n; m) = (n_x, n_y, n_z; m_x, m_y, m_z) kan betraktes som homogene linjekoordinater. Men de er ikke uavhengige av hverandre da vektoren m alltid er vinkelrett på n som følger fra definisjonen av det vektorielle kryssproduktet. Det gir Plücker-betingelsen Mal:Nowrap og derfor effektivt bare fire frie koordinater.

Projektivt rom

Hvis hvert punkt x i det tredimensjonale, projektive rommet RP³ beskrives ved fire homogene koordinater Mal:Nowrap, vil punkter i den endelige delen tilsvare verdier som vanligvis beskrives ved å ta Mal:Nowrap. De seks Plücker-koordinatene for en linje gjennom to punkt x og y kan da finnes fra den antisymmetriske matrisen Mal:Nowrap med elementer

$P_{ij}=x_i{y}_j-x_j{y}_i$

De tidligere koordinatene gjenfinnes ved å sette Mal:Nowrap = 1 som gir Mal:Nowrap og Mal:Nowrap. Plücker-betingelsen tilsvarer at determinanten Mal:Nowrap.

Et plan i rommet kan beskrives ved ligningen u₁x₁ + u₂x₂ + u₃x₃ + u₀ = 0 med bruk av ikke-homogene koordinater. Her angir vektoren Mal:Nowrap retningen til planets normal, mens u₀ er en konstant. Sammen utgjør de fire homogene koordinater for planet. I det projektive rommet er derfor planet beskrevet ved ligningen

$u_0{x}_0+u_1{x}_1+u_2{x}_2+u_3{x}_3=0$

som viser at Mal:Nowrap er homogene koordinater for planet. Koordinatene for skjæringspunktet mellom planet og linjen P = (n; m) er nå gitt ved

$x_i=\sum _{j=0}^3{P}_{ij}{u}_j$

som gir x₀ = - n⋅u og x = nu₀ - m×u. Hvis linjen er parallell med planet, vil vektorene n og u stå vinkelrett på hverandre slik at det skalare produktet Mal:Nowrap. Da er den homogene koordinaten Mal:Nowrap som betyr at skjæringspunkt ligger i det uendelige fjerne.

Dualitet

Ligningen for et plan i det projektive rommet er symmetrisk ved ombytte av de homogene koordinatene for punkt og plan. Dette danner grunnlaget for dualitet som er av sentral betydning i projektiv geometri.

På samme måte som to punkt definerer en linje i planet, vil også to plan med koordinater (u₀,u) og (v₀,v) entydig spesifisere en skjæringslinje. Dens retning vil være gitt ved kryssproduktet Mal:Nowrap som inngår i en ny Plücker-matrise Q = (Q_ij ) for linjen. Da punkter (x₀,x) på denne ligger på begge planene, må man ha Mal:Nowrap og Mal:Nowrap. Sammen gir de betingelsen Mal:Nowrap der Mal:Nowrap. Dermed har man de duale Plücker-koordinatene Mal:Nowrap hvor betingelsen Mal:Nowrap er oppfylt.

De enkelte komponentene til den duale Plücker-matrisen kan nå finnes fra det antisymmetriske produktet

$Q_{ij}=u_i{v}_j-u_j{v}_i$

der n = (Q₂₃,Q₃₁,Q₁₂) og Mal:Nowrap. Ved dualitet kan man herfra beregne koordinatene (u₀,u) for planet som en vilkårlig linje Mal:Nowrap danner med et annet punkt (x₀,x),

$u_i=\sum _{j=0}^3{Q}_{ij}{x}_j$

Mange andre, geometriske relasjoner mellom punkter, linjer og plan i rommet kan finnes ved tilsvarende metoder.

Eksterne lenker

• Kristian Ranestad, Linjegeometri, norsk foredrag (2006).