Logistisk vekst

Mal:Opprydning Den logistiske ligningen er utviklet av den belgiske matematikeren Pierre François Verhulst i 1838 og er gitt av følgende ligning:

Logistisk funksjon for $N_0$ =10, K=100, r=0.2. Merk hvordan antall individer nærmer seg miljøbærekapasiteten når tiden går mot uendelig.

.$\frac{dN}{dt}=rN-a{N}^2=rN(1-\frac{N}{K})$

Her representerer $N$ antall individer på tidspunktet t, r den iboende vekstraten, a den intraspesifikke konkurransen mellom individene, og $K=\frac{r}{a}$ bæreevnen til arten N, som representerer maksimalt antall individer som miljøet kan støtte.

Ved å løse ligningen med startbetingelsen $N(0)=N_0$ får man

$N(t)=\frac{K}{1+(\frac{K}{N_0}-1)\exp (-rt)}.$

Grenseverdien når tiden går mot uendelig er gitt ved :

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }N=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{K}{1+(\frac{K}{N_0}-1)\exp (-rt)}=\frac{K}{1}=K,$

Så antall individer går mot miljøbærekapasitet K i det lange løp (når tiden går mot uendelig).