Markovs ulikhet

Mal:Kildeløs I sannsynlighetsteori gir Markovs ulikhet en øvre grense for sannsynligheten av at en ikke-negativ stokastisk variabel er større enn en gitt positiv verdi. Ulikheten er oppkalt etter den russiske matematikeren Andrej Andrejevitsj Markov.

Ulikheten

Hvis X er en stokastisk variabel og a > 0, så er

$\text{Pr}(|X|\ge a)\le \frac{\text{E}(|X|)}{a}.$

Bevis

Hvis A er en hendelse, la I_A være indikatorvariabelen til A. Det vil si at I_A = 1 hvis A skjer, og 0 ellers. Da er

$a{I}_{(X\ge a)}\le X.$

Derfor er

$\mathrm{E}(a{I}_{(|X|\ge a)})\le \mathrm{E}(|X|).$

Merk at den venstre siden av denne ulikheten er det samme som

$a\mathrm{E}(I_{(|X|\ge a)})=a\mathrm{Pr}(|X|\ge a).$

Dermed har vi at

$a\mathrm{Pr}(|X|\ge a)\le \mathrm{E}(|X|),$

og siden a > 0, kan vi dividere begge sider med a.

Eksempler

• Markovs ulikhet brukes til å bevise Tsjebysjevs ulikhet.
• Hvis X er en ikke-negativ stokastisk variabel med bare heltallige utfall, noe som ofte forekommer i kombinatorikk, så følger det av Markovs ulikhet at P(X > 0) ≤ E(X), ved å sette a =1.