Parallellogramloven

Et parallellogram. Sides er vist i blått og diagonalene i rødt

Parallellogramloven er i geometri en sammenheng mellom lengdene av sidene og diagonalene i et parallellogram. I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet gjelder også en generalisert form for parallellogramloven, som en normidentitet mellom lineærkombinasjoner av to vektorer.

Lar en hjørnene i et parallellogran være betegnet A, B, C og D, slik som vist på figuren til høyre, så kan lengden av sidene betegnes AB, BC, CD og DA. Lengden av de to diagonalene er AC og BD. I euklidsk geometri er lengden av motstående sider i et parallellogram like lange, slik at AB = CD and BC = DA. Parallellogramloven kan da uttrykkes som

$2(AB{)}^2+2(BC{)}^2=(AC{)}^2+(BD{)}^2$

Dersom parallellogrammet også er et rektangel, så er de to diagonalene like lange: AC = BD. Parallellogramloven reduserer seg da til Pythagoras’ læresetning:

$2(AB{)}^2+2(BC{)}^2=2(AC{)}^2$

Parallellogramloven i indreproduktrom

Vektorer som inngår i parallellogramloven

I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet er parallellogramloven en identitet mellom vektornormer:

$2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2=\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2.$

Identiteten vil være oppfylt for alle vektorer x og y. Sammenhengen mellom normen og indreproduktet er gitt ved

$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩,$

og bevis for at identiteten er oppfylt følger umiddelbart fra egenskaper til indreproduktet:

$\Vert x+y{\Vert }^2=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩,$

$\Vert x-y{\Vert }^2=⟨x-y,x-y⟩=⟨x,x⟩-⟨x,y⟩-⟨y,x⟩+⟨y,y⟩.$

Parallellogramloven framkommer ved å summere de to uttrykkene:

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2⟨x,x⟩+2⟨y,y⟩=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2.$

Dersom x er ortogonal til y, da er $⟨x,y⟩=0$ og parallellogramloven reduserer seg igjen til Pythagoras' læresetning:

$\Vert x+y{\Vert }^2=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2.$