Partikkelnummeroperatøren

I kvantemekanikk, for systemer der det totale antall partikler ikke kan bevares, er nummeroperatøren den observerbare som teller antall partikler.

Nummeroperatøren handler på Fock space. La

| Ψ ⟩_{ν} = | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν}

være en Fock-tilstand, sammensatt av tilstander med en partikkel $| ϕ_{i} ⟩$ tegnet fra et grunnlag av det underliggende Hilbert-rommet i Fock-rommet. Gitt de tilsvarende etablerings- og utslettelsesoperatørene $a^{†} (ϕ_{i})$ og $a (ϕ_{i})$ vi definerer nummeroperatøren etter

\hat{N_{i}} \overset{d e f}{=} a^{†} (ϕ_{i}) a (ϕ_{i})

og vi har

\hat{N_{i}} | Ψ ⟩_{ν} = N_{i} | Ψ ⟩_{ν}

hvor $N_{i}$ er antallet partikler i tilstand $| ϕ_{i} ⟩$ . Ovennevnte likhet kan bevises ved å merke seg det

\begin{matrix} a (ϕ_{i}) | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} & = & \sqrt{N_{i}} | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} \\ a^{†} (ϕ_{i}) | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} & = & \sqrt{N_{i}} | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} \end{matrix}

dermed^[1]^[2]

\begin{matrix} \hat{N_{i}} | Ψ ⟩_{ν} = a^{†} (ϕ_{i}) a (ϕ_{i}) | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} & = & \sqrt{N_{i}} a^{†} (ϕ_{i}) | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} \\ = & \sqrt{N_{i}} \sqrt{N_{i}} | ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{i - 1}, ϕ_{i}, ϕ_{i + 1}, \dots, ϕ_{n} ⟩_{ν} \\ = & N_{i} | Ψ ⟩_{ν} \end{matrix}

Referanser

[1] Mal:Kilde bok

[2] Mal:Kilde bok

[1]

[2]

Partikkelnummeroperatøren

Referanser

Navigasjonsmeny

Søk