Ring (matematikk)

En ring er i matematikk en algebraisk struktur definert med to binæroperasjoner, addisjon og multiplikasjon , som har mange av de samme egenskapene som vi finner hos heltallene. Mengden av hele tall $\mathbb{Z}$, sammen med den vanlige definisjonen av addisjon og multiplikasjon, er et eksempel på en ring. Denne kan utvides til nye ringer. Ett eksempel er gaussiske heltall $\mathbb{Z}[i]$. Mengden av alle matriser er et eksempel på en ikke-kommutativ ring.

Definisjon

En ring $R$ er en trippel $(R,+,\cdot )$, hvor $R$ er en mengde og $+:R\times R\to R$ og $\cdot :R\times R\to R$ binæroperasjoner slik at følgende aksiomer er oppfylt. For alle $a,b,c\in R$ har vi:

• (assosiativitet) $(a+b)+c=a+(b+c)$
• (kommutativitet) $a+b=b+a$
• (additiv identitet) Det fins et element $0\in R$ slik at $0+a=a+0=a$
• (multiplikativ identitet) Det fins et element $1\in R$ slik at $1\cdot a=a\cdot 1=a$
• (additiv invers) Det fins et element $d\in R$ slik at $a+d=0$
• (distributivitet) $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ og $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

$(R,+)$ er med andre ord en abelsk gruppe og $(R,\cdot )$ er en semigruppe.

Videre definisjoner

• $(R,+,\cdot )$ er en kommutativ ring viss $\cdot$ også er kommutativ: $a\cdot b=b\cdot a$ for alle $a,b\in R$.
• $(R,+,\cdot )$ er en kropp viss $(R^{*},\cdot )$ danner en gruppe, hvor $R^{*}$ er mengden av alle elementer i $R$ utenom den additive identiteten $0$.