Sinussetning

Sinussetningen (også kalt sinusproporsjonen) er i trigonometrien (se også trigonometriske funksjoner) en læresetning om en hvilken som helst trekant i planet. Når a, b, og c er sidene i trekanten, og disse sidenes motstående vinkler er A, B og C, sier sinussetningen at

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

Den felles verdien av disse tre brøkene er diameteren til trekantens omskrevne sirkel. Sinussetningen kan også fremstilles som

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$

Denne setningen er nyttig når man skal beregne resten av sidene i en trekant der to vinkler og en side er kjent, et kjent problem i triangulering. Den kan også brukes når to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, er kjent; i noen tilfeller gir formelen to mulige verdier for den mellomliggende vinkelen. Når det skjer, vil ofte bare ett resultat få vinkelsummen til å bli 180°; i andre tilfeller har trekanten to løsninger.

Det kan vises at diameteren til trekantens omskrevne sirkel er

$\begin{array}{cc}\frac{abc}{2S}& =\frac{abc}{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\ & =\frac{2abc}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}},\end{array}$

der S er trekantens areal og s dens halve omkrets

$s=\frac{a+b+c}{2}.$

Eksempler

Gitt en trekant med side a = 20, side c = 24, og vinkel C = 40°

Ved å bruke sinussetningen kommer vi frem til at

$\frac{\sin A}{20}=\frac{\sin 40^{\circ }}{24}.$

$A=\arcsin \left(\frac{20\sin 40^{\circ }}{24}\right)\cong 32,39^{\circ }.$

Et annet eksempel på å løse et problem ved hjelp av sinussetningen:

Hvis de to sidene i en trekant er lik R og lengden av den tredje siden, korden, er gitt som 100 meter, og vinkel C motstående korden er gitt i grader, er

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\frac{180-C}{2}$

og

$\frac{R}{\sin A}=\frac{\text{korde}}{\sin C}\text{ eller }\frac{R}{\sin B}=\frac{\text{korde}}{\sin C}$

$\frac{\text{korde}\sin A}{\sin C}=R\text{ eller }\frac{\text{korde}\sin B}{\sin C}=R.$

Utledning

Lag en trekant med sider a, b og c, og vinkler A, B og C. Tegn høyden fra vinkel C til side c; per definisjon vil den dele den opprinnelige trekanten i to rettvinklede trekanter. Kall høyden h.

Vi ser at

$\sin A=\frac{h}{b}\text{ and }\sin B=\frac{h}{a}.$

Derfor er

$h=b(\sin A)=a(\sin B)$

og

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}.$

Ved å gjøre det samme med høyden fra A får vi

$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$

Se også

• Sinus