Termodynamisk beta

SI temperatur / kulde konvertering skala: Temperaturer i Kelvin skala er vist i blått (Celsius skala i grønt, Fahrenheit skala i rødt), kuldeverdier i gigabyte per nanojoule vises i svart. Uendelig temperatur (kulde null) vises øverst i diagrammet; positive verdier av kulde / temperatur er på høyre side, negative verdier på venstre side.

I statistisk termodynamikk er termodynamisk beta, også kjent som kulde, resiprok av den termodynamiske temperaturen til et system:

$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}$

Hvor:

$T$ er temperaturen

$k_B$ er Boltzmanns konstant

Den ble opprinnelig introdusert i 1971 (som Kältefunktion "kaldhetsfunksjon") av Ingo Müller, en av forkjemperne for den rasjonelle tankegang, basert på tidligere forslag om en "gjensidig temperatur" -funksjon.

Termodynamisk beta har enheter resiprok med energien (i SI-enhet, resiprokjoule, $[\beta ]={\text{J}}^{-1}$). I ikke-termiske enheter kan den også måles i byte per joule, eller mer praktisk, gigabyte per nanojoule; 1 K⁻¹ tilsvarer omtrent 13 062 gigabyte per nanojoule; i romtemperatur: Mal:Mvar = 300K, β ≈ Mal:Val ≈ Mal:Val ≈ Mal:Val. Konverteringsfaktoren er 1 GB/nJ = $8\ln 2\times 10^{18}$ J⁻¹.

Beskrivelse

Termodynamisk beta er egentlig forbindelsen mellom informasjonsteorien og statistisk mekanikkfortolkning av et fysisk system gjennom dets entropi og termodynamikken knyttet til energien. Det uttrykker entropiens respons på en økning i energi. Hvis et system utfordres med en liten mengde energi, beskriver β mengden systemet vil randomisere.

Via den statistiske definisjonen av temperatur som en funksjon av entropi, kan kuldefunksjonen beregnes i det mikrokanoniske ensemblet fra formelen

$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}}{\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)}_{V,N}$

(dvs. delvis derivat av entropien S med hensyn til energien E ved konstant volum V og partikkelnummer N).

Fordeler

Selv om β er fullstendig ekvivalent i konseptuelt innhold med temperatur, anses β generelt som en mer grunnleggende mengde enn temperatur på grunn av fenomenet negativ temperatur, der β er kontinuerlig når den krysser null, mens T har en egenart.

I tillegg har β fordelen av å være lettere å forstå årsaksvis: Hvis en liten mengde varme tilsettes et system, er β økningen i entropi delt på økningen i varme. Temperatur er vanskelig å tolke i samme forstand, da det ikke er mulig å "legge til entropi" til et system bortsett fra indirekte, ved å modifisere andre størrelser som temperatur, volum eller antall partikler.

Statistisk tolkning

Fra et statistisk synspunkt er β en numerisk størrelse som relaterer to makroskopiske systemer i likevekt. Den eksakte formuleringen er som følger. Tenk på to systemer, 1 og 2, i termokontakt, med respektive energier E₁ og E₂. Vi antar at E₁ + E₂ =konstant E. Antall mikrotilstander i hvert system vil bli betegnet med Ω₁ og Ω₂. Under våre antakelser avhenger Ω_i bare av E_i. Vi antar også at en hvilken som helst mikrotilstand i system 1 som er i samsvar med E₁ kan eksistere sammen med hvilken som helst mikrotilstand i system 2 som er i samsvar med E₂. Dermed er antallet mikrotilstander for det kombinerte systemet

$\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1(E_1){\mathrm{\Omega }}_2(E_2)={\mathrm{\Omega }}_1(E_1){\mathrm{\Omega }}_2(E-E_1).$

Vi vil utlede β fra den grunnleggende antagelsen om statistisk mekanikk:

Når det kombinerte systemet når likevekt, maksimeres tallet Ω.

(Med andre ord søker systemet naturlig nok det maksimale antallet mikrostater.) Derfor, ved likevekt,

$\frac{d}{d{E}_1}\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_2(E_2)\frac{d}{d{E}_1}{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)+{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)\frac{d}{d{E}_2}{\mathrm{\Omega }}_2(E_2)\cdot \frac{d{E}_2}{d{E}_1}=0.$

Men E₁ + E₂ = E tilsier

$\frac{d{E}_2}{d{E}_1}=-1.$

Så

${\mathrm{\Omega }}_2(E_2)\frac{d}{d{E}_1}{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)-{\mathrm{\Omega }}_1(E_1)\frac{d}{d{E}_2}{\mathrm{\Omega }}_2(E_2)=0$

det vil si

$\frac{d}{d{E}_1}\ln {\mathrm{\Omega }}_1=\frac{d}{d{E}_2}\ln {\mathrm{\Omega }}_2\text{ved likevekt.}$

Ovennevnte forhold motiverer en definisjon av β:

$\beta =\frac{d\ln \mathrm{\Omega }}{dE}.$

Forbindelse av statistisk visning med termodynamisk utsikt

Når to systemer er i likevekt, har de samme termodynamisk temperatur T . Dermed ville man intuitivt forvente at β (som definert via mikrotilstander) på en eller annen måte var relatert til T. Denne lenken er gitt av Boltzmanns grunnleggende antagelse skrevet som

$S=k_{\mathrm{B}}\ln \mathrm{\Omega },$

hvor k_B er Boltzmann-konstanten, S er den klassiske termodynamiske entropien, og Ω er antallet mikrotilstander. Så

$d\ln \mathrm{\Omega }=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}}dS.$

Å erstatte definisjonen av β fra den statistiske definisjonen ovenfor gir

$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}}\frac{dS}{dE}.$

Sammenligning med termodynamisk formel

$\frac{dS}{dE}=\frac{1}{T},$

vi har

$\beta =\frac{1}{k_{\mathrm{B}}T}=\frac{1}{\tau }$

hvor $\tau$ kalles systemets grunntemperatur, og har energienheter.