Treghetsmoment

Denne artikkelen omhandler momentet for et roterende legeme. Se Annet arealmoment for momentet til et bøyd plan.

Treghetsmomentet (SI-enhet kg·m²) er et mål på rotasjonstregheten til et stivt legeme. Symbolet $I$ brukes vanligvis for å referere til treghetsmomentet.

Oversikt

Et legemes treghetsmoment om en gitt akse beskriver hvor vanskelig det er å sette legemet i rotasjon om aksen, der aksen går gjennom legemets massefellespunkt. Som et eksempel, tenk på to hjul med samme masse, et med stor og et med liten radius. Det mindre hjulet er lettere å akselerere inn i en rotasjonsbevegelse, fordi at massen er konsentrert nærmere rotasjonsaksen. Tilsvarende er det vanskeligere å få det større hjulet til å akselerere, siden massen er spredt lenger fra rotasjonsaksen. Det lille hjulet har et mindre treghetsmoment, mens det større hjulet har et større treghetsmoment.

Treghetsmomentet må ikke forveksles med annet arealmoment eller polart arealmoment, som ofte har samme symbol $I$.

Det finnes to former av treghetsmoment; en skalar form, og en mer generell form, der det ikke er nødvendig å vite rotasjonsaksen. Det skalare treghetsmomentet er ofte det man refererer til og forstår med "treghetsmoment", og den generelle formen omtales derfor ikke i denne artikkelen.

Skalart treghetsmoment

Definisjon

Det (skalare) treghetsmomentet for et massepunkt som roterer om en kjent akse er:

$I\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}m{r}^2$

der

m er massen,

og r er avstand fra massepunktet til rotasjonsaksen.

Treghetsmomentet kan summeres, så for et legeme definert som flere massepunkt med masse $m_i$ og avstand fra rotasjonsaksen $r_i$, er det totale treghetsmomentet summen av treghetsmomentene for hver enkelt massepunkt.

$I\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _{i=1}^N{m}_i{r}_i^2$

For en kontinuerlig massefordeling er treghetsmomentet definert ved uttrykket

$I\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\int r^{2}dm$

Parallellakseteoremet

Hvis treghetsmomentet for rotasjon om en akse gjennom massefellespunktet for et symmetrisk legeme har blitt kalkulert, kan man finne treghetsmomentet for rotasjon om alle parallelle akser. For en rotasjonsakse en avstand $R$ fra massefellespunktet, blir det nye treghetsmomentet:

$I_{\mathrm{n}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{s}\mathrm{e}}=I_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}}+M{R}^2$

der

$M$ er legemets totale masse,

og R er avstanden fra den nye rotasjonsaksen til massefellespunktet.

Dette teoremet er også kjent som Steiners sats.

Et eksempel på bruk av denne formelen vil være hvis man i stedet for å rotere et hjul rundt akselen, spinner det rundt en ny aksel helt i ytterkanten av hjulet. Det nye treghetsmomentet vil bli det opprinnelige treghetsmomentet pluss massen til hjulet ganget med hjulradiusen i andre.

Et utvalg kjente treghetsmomenter

Dette er kjente treghetsmomenter for en del vanlige geometriske former med rotasjonsakse gjennom massefellespunktet. Disse kan benyttes for $I_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{t}}$ i parallellakseteoremet. Alle former har masse M.

Homogen slank stav med lengde $L$ langs y-aksen:

$I_{\mathrm{z}}=I_{\mathrm{x}}=\frac{1}{12}M{L}^2$

Tynn rektangulær plate i xy-planet med sidekant $a$ langs x-aksen og sidekant $b$ langs y-aksen.

$I_{\mathrm{z}}=\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$

$I_{\mathrm{x}}=\frac{1}{12}M{b}^2$

$I_{\mathrm{y}}=\frac{1}{12}M{a}^2$

Rektangulært prisme med sidekant b langs y-aksen og sidekant a langs x-aksen, med vilkårlig høyde langs z-aksen.

$I_{\mathrm{z}}=\frac{1}{12}M(a^2+b^2)$

Tynn sirkulær skive med radius r i xy-planet.

$I_{\mathrm{z}}=\frac{1}{2}M{r}^2$

$I_{\mathrm{x}}=I_{\mathrm{y}}=\frac{1}{4}M{r}^2$

Sirkulær sylinder langs z-aksen med radius r og lengde L.

$I_{\mathrm{z}}=\frac{1}{2}M{r}^2$

$I_{\mathrm{x}}=I_{\mathrm{y}}=\frac{1}{12}M(3r^2+L^2)$

Tynt sylinderskall langs z-aksen med radius r og lengde L:

$I_{\mathrm{z}}=M{r}^2$

$I_{\mathrm{x}}=I_{\mathrm{y}}=\frac{1}{2}M{r}^2+\frac{1}{12}M{L}^2$

Kule med radius r har samme treghetsmoment om alle akser gjennom massefellespunktet:

$I_{}=\frac{2}{5}M{r}^2$

Kuleskall med raduis r har også samme treghetsmoment om alle akser gjennom massefellespunktet:

$I_{}=\frac{2}{3}M{r}^2$

Kinetisk energi

For et legeme som roterer med konstant vinkelhastighet $\omega$ om en akse, er den kinetiske rotasjonsenergien $T$ gitt ved:

$T=\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i{\omega }^2{r}_i^2=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Formelen holder også for rulling av hjul.