Hölder-rom

Et Hölder-rom er et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner som er Hölder-kontinuerlige i seg selv og sine deriverte. Formelt definerer man en norm over et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner, og definerer et Hölder-rom til å være mengden av alle funksjoner der denne normen er endelig. Hölder-rom brukes innen funksjonalanalyse for å studere partielle differensialligninger.

Definisjon

Hölder-norm

La $U\subset {ℝ}^n$, og la $C^k(U)$ være alle begrensede og kontinuerlige funksjoner $u:U\to ℝ$. Definer en norm

$||u|{|}_{C^k(U)}:=su{p}_{x\in U}|u(x)|$

og en seminorm

$[u{]}_{C^{0,\gamma }(U)}:=\sup \{\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y{|}^{\gamma }}|x,y\in U,x\ne y\}$.

Da kan man definere Hölder-normen med eksponent $\gamma$ til å være

$||u|{|}_{C^{k,\gamma }(U)}=||u|{|}_{C^k(U)}+[u{]}_{C^{0,\gamma }(U)}$.

Hölder-rom

Hölder-rommet $C^{k,\gamma }(\bar{U})$ består av alle funksjoner $u:U\to ℝ$ slik at $u\in C^k(\bar{U})$ og normen

$\Vert u{\Vert }_{C^{k,\gamma }(\bar{U})}:=\sum _{|\alpha |\le k}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{C(U)}+\sum _{|\alpha |=k}[D^{\alpha }u{]}_{C^{0,\gamma }(U)}$

er endelig. Her angir $D^{\alpha }$ partiellderiverte av orden $\alpha$, og $\alpha$ en multiindeks $\mathit{\alpha }=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)$ der $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\le k$ i første ledd, og $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=k$ i andre ledd. Det første leddet tilsvarer at dette er funksjoner som er k ganger kontinuerlig deriverbare. Det andre leddet tilsier at disse k-deriverte er begrensede og Hölder-kontinuerlige med eksponent $\gamma$.

Egenskaper

• Funksjonsrommet $C^{k,\gamma }(U)$ er et Banach-rom.

Eksterne lenker

• Hölder space på Encyclopedia of Mathematics