Lp-rom

Innen matematikk er Mal:Math-rommene funksjonsrom definert som en naturlig generalisering av p-normen for endeligdimensjonale vektorrom. De kalles også for Lesbesgue-rom, navngitt etter Henri Lebesgue. Mal:Math-rom er også Banachrom, og utgjør en viktig klasse av topologiske vektorrom innen funksjonalanalyse. De spiller en nøkkelrolle i matematisk analyse av mål- og sannsynlighetsrom, og er derfor også viktig for det teoretiske grunnlaget for og diskusjonen rundt problemer innenfor blant annet fysikk, statistikk og finans.

Definisjon

La $(\mathrm{\Omega },A,\mu )$ være et målrom og $0<p\le \mathrm{\infty }$ kan man definere en norm gitt ved

$||f|{|}_p=(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f{|}^{p}d\mu {)}^{1/p}$

for $p<\mathrm{\infty }$, og

$||f|{|}_{\mathrm{\infty }}=inf\{M:|f|\le M\}$

nesten overalt (med hensyn til målet $\mu$). Da er det korresponderende L^p-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette integralet konvergerer (er endelig).

Man kan tenke på $L^p$-rom som en generalisering av $L^2$-rom, mengden av kvadratiske integrerbare funksjoner, der disse er definert som mengden av funksjoner hvis

$|f{|}_2=(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f{|}^{2}d\mu {)}^{1/2}$

er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle indreproduktet

$⟨f,g⟩=\underset{X}{\int }f\bar{g}d\mu$

definert over et funksjonsrom.

L^p-rom over ${ℝ}^n$

Dersom $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ er det vanlig å referere til $L^p$-rommet som $L^p(\mathrm{\Omega })$.

L^p-rom over følgerom

Dersom $\mu$ er tellemålet er det vanlig å referere til $L^p$-rommet som ${𝓁}^p(\mathrm{\Omega })$, eller bare ${𝓁}^p$.

Egenskaper

Grunnleggende egenskaper

For alle L^p-rom gjelder følgende:

1. For alle $f\in L^p$ og alle skalarer $\alpha$ gjelder

   $||\alpha f|{|}_p=|\alpha |||f|{|}_p$

2. $L^p$ er et vektorrom
3. For alle $f\in L^p$ finnes det en følge av enkle funksjoner $\{s_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ i L^p som konvergerer til f nesten overalt:
   1. $s_n\to f$
   2. $||f-s_n|{|}_p\to 0$
   3. $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|s_n{|}^{p}d\mu \to \int \mathrm{\Omega }|f{|}^{p}d\mu$

Hölders ulikhet

Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at $1\le p\le \mathrm{\infty }$ og $1\le p\le \mathrm{\infty }$, og slik at $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, og $f,g$ to A-målbare funksjoner, har vi at

$||fg|{|}_1=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|fg|d\mu \le ||f|{|}_p||g|{|}_p$

med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter $\alpha ,\beta$ som ikke begge er 0, slik at

$\alpha |f{|}^p=\beta |g{|}^q$.

Dette kalles for Hölders ulikhet, og hvis $p=q=2$ får vi Cauchy–Schwarz’ ulikhet.

Dersom vi jobber med funksjonsrom over $ℝ$, der $\mathrm{\Omega }$ f.eks. kan være et interval $[a,b]$ kan ulikheten uttrykkes som

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|fg|dx\le ||f|{|}_p||g|{|}_p.$

Minkowskis ulikhet

La $1\le p\le \mathrm{\infty }$ igjen. Da gjelder

$||f+g|{|}_p\le ||f|{|}_p+||g|{|}_p$

for alle $f,g\in L^p(\mu )$.

Dette kalles for Minkowskis ulikhet.

Riesz' teorem

For $1\le p\le \mathrm{\infty }$ er $(L^p(\mu ),||\cdot |{|}_p)$ et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved $||\cdot |{|}_p$, altså et Banach-rom.

Dette kalles for Riesz' teorem. For $0<p<1$ har vi at $L^p$ fortsatt er et vektorrom, men Mal:Matte er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en metrikk, så for $0<p<1$ er $L^p$ et metrisk rom. For $p=2$ er $L^p$ også et Hilbertrom.

Litteratur

• Mal:Kilde bok

Eksterne lenker

• Mal:MathWorld