De Moivres formel

De Moivres formel er en direkte konsekvens av Eulers formel i det komplekse planet.

De Moivres formel er et matematisk uttrykk som forbinder komplekse tall med trigonometri. Den sier at for hvert reelt tall x og heltall n har man sammenhengen

$(\cos x+i\sin x{)}^n=\cos nx+i\sin nx$

hvor i er den imaginær enhet, det vil si i² = -1.

En indirekte utgave av formelen ble først publisert av Abraham de Moivre på begynnelsen av 1700-tallet, men ble mer systematisk formulert av Leonhard Euler noen tiår senere. Den er da en direkte konsekvens av Eulers formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ og egenskapen $(e^{ix}{)}^n=e^{inx}$ til eksponentialfunksjonen.

Formelen kan utvides til å gjelde for det mer generelle tilfellet der n er et rasjonalt tall. Den man da benyttes til å beregne n-te enhetsrøtter, det vil si komplekse løsninger av ligningen Mal:Nowrap. Historisk har disse spilt en viktig rolle innen tallteori.

Noen anvendelser

Når n = 2 sier formelen at

$(\cos x+i\sin x{)}^2={\cos }^{2}x+2i\sin x\cos x-{\sin }^{2}x=\cos 2x+i\sin 2x$

Ved å sammenligne de reelle og imaginære leddene på begge sider, finner man sammenhengene

$\begin{array}{cc}\cos 2x& ={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\\ \sin 2x& =2\sin x\cos x\end{array}$

De er to av de viktigste, trigonometriske identitetene.

På samme måte kan binomialformelen benyttes for n = 3 og gir

$(\cos x+i\sin x{)}^3={\cos }^{3}x+3i\sin x{\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x\cos x-i{\sin }^{3}x=\cos 3x+i\sin 3x$

Nå betyr dette at

$\begin{array}{cc}\cos 3x& =4{\cos }^{3}x-3\cos x\\ \sin 3x& =3\sin x-4{\sin }^{3}x\end{array}$

som man finner etter å ha benyttet Pythagoras' setning ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$ Slik kan man fortsette og finne uttrykk for $\sin nx$ og $\cos nx$ ved enklere, trigonometriske funksjoner.

Enhetsrøtter

De tre enhetsrøttene i det komplekse planet for n = 3.

Da cosnφ = 1 og sinnφ = 0 når φ = 2π k/n når både k og n er heltall, gir de Moivres formel at løsningene til ligningen Mal:Nowrap med Mal:Nowrap er gitt som

$z=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}$

Det finnes k slike forskjellige røtter som er verdiene til disse komplekse tallene for k = 0,1,2,..,n - 1. I det komplekse planet tilsvarer de en oppdeling av enhetssirkelen i n like store deler. Ligningen omtales derfor også som sirkeldelingsligningen.

Enhetsrøttene spiller en avgjørende rolle ved løsning av mer generelle polynomligning. For eksempel gjorde Niels Henrik Abel bruk av dem i forbindelse med løsninger av femtegradsligningen. Galois-teori sier at de alle kan reduseres til de tre basale regneartene, det vil si addisjon, multiplikasjon og rotuttrekning.

Litteratur

• A. de Moivre, De sectione anguli, Phil. Trans. 32(374), 228–230 (1723).
• L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Vol I, Kap.8, §133 (1748).