Det annet arealmoment

Mal:Kildeløs Det annet arealmoment (I, ofte feilaktig kalt treghetsmomentet; I denne sammenhengen handler det om arealtreghetsmomentet, og ikke massetreghetsmomentet som brukes i dynamikk. Se treghetsmoment.) beregnes for bjelketverrsnitt og andre geometriske former, ved integrasjon over tverrsnittet:

$I=\underset{A}{\int }{y}^{2}dA$

I vanlig praksis brukes formler som er beregnet for standardprofiler, og noen eksempler er gitt under.

Rektangulært tverrsnitt

Integralet løses på følgende måte for et rektangulært tverrsnitt:

$I_x=\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{y}^{2}bdy={\left[\frac{y^{3}b}{3}\right]}_{-h/2}^{h/2}=\frac{b{h}^3}{12}$

der h er høyden, og b er bredden av det rektangulære tverrsnittet. I_x blir da annet arealmoment om x-aksen i senteret C.

Sirkulært tverrsnitt

Integralet er ikke vist her, men et rørtverrsnitt beregnes fra $I=\frac{\pi D^4}{64}$, der D er ytterdiameteren

Rørtverrsnitt

$I=\frac{\pi }{64}(D^4-d^4)$

der D er ytterdiameteren, og d er innerdiameteren.

Steiners teorem

Dersom du har et tverrsnitt som er sammensatt av flere arealer som ikke ligger på samme akse som tyngdepunktet av arealet, er det vanlig å bruke Steiners teorem for å beregne annet arealmoment, kalt parallellakseteoremet, eller Steiners Sats.

$I_z=I_x+A{d}^2.$, der I_x er annet arealmoment for arealet som ligger på en parallell akse utenfor arealsenteret (i akse z), d er avstanden fra arealsenteret i akse z til arealsenteret av A.

Anvendelse av annet arealmoment

En vanlig anvendelse av annet arealmoment er ved beregning av bøyespenningen, ${\sigma }_b$ i en bjelke.

${\sigma }_b=\frac{M}{I}y$

der M er momentet, I er annet arealmoment og y er avstanden fra arealsenteret til punktet der du ønsker å beregne spenningen.

Motstandsmomentet

Et annet vanlig begrep i bjelkeberegninger er motstandsmomentet eller tverrsnittsmodulen (Engelsk: Section modulus), og benevnes ofte W. I vanlig praksis beregnes største bøyespenning ${\sigma }_b$ fra

${\sigma }_b=\frac{M}{W}$, der $W=\frac{I}{y}=\frac{I}{h/2}$

siden arealsenteret til tverrsnittet vanligvis ligger i midten av tverrsnittet, og følgelig er avstanden fra senteret av tverrsnittet til ytterste fiber lik h/2.

Motstandsmomentet for noen vanlige tverrsnitt er gitt under

Rektangulært tverrsnitt

$W_x=\frac{b{h}^2}{6}$

b = bredden, h = høyden Her gjelder bøying om x-akse

Sirkulært tverrsnitt

$W=\frac{\pi D^3}{32}$

D = diameteren

Rørtverrsnitt

$W=\frac{\pi }{32D}(D^4-d^4)$

D = ytterdiameter, d = innerdiameter

Mal:Autoritetsdata