Diskriminant

I algebra kan diskriminanten ($\mathrm{\Delta }$) til et polynom si noe om polynomets røtter uten at man trenger å beregne dem. For eksempel diskriminanten til annengradspolynomet

$a{x}^2+bx+c$

er $(r_1-r_2{)}^2=(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right){)}^2=\frac{b^2-4ac}{a^2}$

Siden nevneren alltid er positiv, er det tilstrekkelig med $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac.$

Hvis polynomets koeffisienter er reelle, vil diskriminanten være null når polynomet har én dobbeltrot; den vil være positiv når polynomet har to reelle røtter og den vil være negativ når polynomet har to kompleks konjugerte røtter.

Tredjegradspolynomet

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

har diskriminanten $b^2{c}^2-4a{c}^3-4b^{3}d-27a^2{d}^2+18abcd$

Diskriminantene til høyere ordens polynomer er mye lengre. Diskriminanten til et fjerdegradspolynom har for eksempel 16 ledd, til et femtegradspolynom har den 59 ledd og til et sjettegradspolynom har den 246 ledd.

Diskriminanten uttrykt med røtter

Uttrykt med røtter vil diskriminanten være lik:

$a_n^{2n-2}\prod _{i<j}(r_i-r_j{)}^2$

der $a_n$ er koeffisientene foran og $r_1,...r_n$ er røttene til polynomet.

Eksterne lenker

• Mathworld article
• Planetmath article