Eksklusjon (logikk)

Mal:Kildeløs Eksklusjon er en grunnleggende sannhetsfunksjon i setningslogikken (latin exclusio = «utestengning»). Eksklusjonen av to utsagn er sann hvis og bare hvis minst ett av disse utsagnene er falske. Den symbolske skrivemåten for eksklusjonen av to utsagn A og B bruker den såkalte Sheffer-streken:

$𝐀\mid 𝐁$

og kan uttales som følger:

• «høyst én av A og B,»
• «ikke begge av A og B,»
• «A og B utelukker hverandre.»

I noen programmeringsspråk eller andre sammenhenger der særtegn ikke kan brukes, skrives også «NAND» istedenfor «|». «NAND» er avledet av det engelske uttrykket not and. Dette kommer av at eksklusjonen er negasjonen av en «logisk og»:
$(𝐀\mid 𝐁)\iff \mathrm{\neg }(𝐁\wedge 𝐀)$.

Sheffer-streken er oppkalt etter logikeren Henry Maurice Sheffer, som beskrev noen av eksklusjonens interessante egenskaper. Blant annet kan alle andre sannhetsfunksjonene uttrykkes gjennom eksklusjonen:

• negasjon («ikke»), $\mathrm{\neg }𝐀\iff (𝐀\mid 𝐀)$;
• inklusiv disjunksjon («eller»), $(𝐀\vee 𝐁)\iff (\mathrm{\neg }𝐀\mid \mathrm{\neg }𝐁)\iff ((𝐀\mid 𝐀)\mid (𝐁\mid 𝐁))$;
• konjunksjon («og»), $(𝐀\wedge 𝐁)\iff \mathrm{\neg }(𝐀\mid 𝐁)\iff ((𝐀\mid 𝐁)\mid (𝐀\mid 𝐁))$;
• subjunksjon («hvis»), $(𝐀\to 𝐁)\iff (𝐀\mid \mathrm{\neg }𝐁)\iff (𝐀\mid (𝐁\mid 𝐁))$;
• bisubjunksjon («hvis og bare hvis»), $(𝐀\leftrightarrow 𝐁)\iff ((𝐀\mid 𝐁)\mid ((𝐀\mid 𝐁)\mid (𝐁\mid 𝐁)))$;
• eksklusiv disjunksjon («enten–eller»), $(𝐀\oplus 𝐁)\iff ((𝐀\mid (𝐁\mid 𝐁))\mid ((𝐀\mid 𝐀)\mid 𝐁))$;
• tilsvarende fungerer for de resterende sannhetsfunksjonene.