Gradient

Gradienten er illustrert med piler for to forskjellige, skalare felt som begge øker i retningene hvor pilene peker.

I matematikk er gradienten til et skalarfelt et vektorfelt der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren.

Gradienten til en funksjon f = f(x₁, ..., x_n) skrives vanligvis ∇f  der ∇ er nabla-operatoren. Den utgjør den fundamentale operasjon i vektoranalysen.

I figurene til høyre er to forskjellige skalarfelt tegnet i svart/hvitt, der svart symboliserer høyere verdier. Den tilhørende gradienten er vist med blå piler.

Ordet gradient brukes også ofte i en løsere betydning for å betegne variasjon i en eller annen størrelse.

Formell definisjon

Gradienten til et generelt skalarfelt $f(x_1,x_2,x_3,\dots x_n)$ definert i et kartesisk koordinatsystem er definert ved

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}).$

der den i-te vektorkomponenten er lik den partiellderiverte av funksjonen f med hensyn på den i-te koordinaten.

Definisjonen av gradienten vil avhenge av koordinatsystemet brukt. sylinderkoordinater er definisjonen

$\mathrm{\nabla }f(\rho ,\theta ,z)=\frac{\partial f}{\partial \rho }{𝐞}_{\rho }+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{\partial f}{\partial z}{𝐞}_z$

som gir de fysiske komponentene av gradienten. I kulekoordinater er på samme måte

$\mathrm{\nabla }f(r,\theta ,\varphi )=\frac{\partial f}{\partial r}{𝐞}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }{𝐞}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }{𝐞}_{\varphi }$

Eksempel

Gradienten til den følgende funksjonen, definert i kartesiske koordinater,

$f(x,y,z)=2x+3y^2-\sin (z)$,

er gitt ved

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=(2,6y,-\cos (z)).$

Taylorutvikling av skalarfelt

For et punkt der gradienten er definert vil variasjonen i et skalarfelt til første orden kunne uttrykkes ved hjelp av gradienten som

$f(𝐚\mathbf{+}𝐯)=f(𝐚)+\mathrm{\nabla }f(𝐚)\cdot 𝐯+\Vert 𝐯\Vert E(𝐚,𝐯)$

der restleddet E går mot null når $\Vert 𝐯\Vert$ går mot null.

Se også

• Divergens
• Curl
• Laplace-operator
• Temperaturgradient
• Trykkgradient