Laplace-operator

Laplace-operator er en differensiell vektor-operator i matematikk, definert som divergensen til gradienten til en funksjon i et euklidsk rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon $f$ skrives som regel som $\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f$, ${\mathrm{\nabla }}^{2}f$ eller $\mathrm{\Delta }f$, der $\mathrm{\nabla }$ er nabla-operatoren.

Definisjon

Laplace-operatoren er en andreordens differensialoperator som i kartesiske koordinater er gitt ved:

$\mathrm{\Delta }f={\mathrm{\nabla }}^{2}f=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }f.$

Merk at $f$ må være to ganger deriverbar og at $\mathrm{\nabla }$ er definert ved:

$\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n}).$

Forskjellige koordinatsystem

Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.

To dimensjoner

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

der $x$ og $y$ er standard kartesiske koordinater i $xy$-planet.

I et polarkoordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }f& =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}.\end{array}$

der $r$ er avstand fra origo og $\theta$ er vinkel i forhold til det man vil kalle $x$-aksen i et kartesisk koordinatsystem.

Tre dimensjoner

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

$\mathrm{\Delta }f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

der $x$, $y$ og $z$ er standard kartesiske koordinater i $xyz$-rommet.

I sylinderkoordinater er Laplace operatoren gitt ved

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

der $r$ er avstand fra origo til projeksjonen i $xy$-planet, $\theta$ er vinkel i forhold til det man vil kalle $x$-aksen i et kartesisk koordinatsystem, og $z$ er høyden.

I kulekoordinater er Laplace operatoren gitt ved

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Phi }}{\partial {\varphi }^2}.$

der $r$ er avstand fra origo og $(\theta ,\varphi )$ angir vinkelen.

Se også

• Gradient
• Divergens
• Curl