Invers funksjon

En funksjon $f$ og dens inverse $f^{-1}$. Dersom $f(x)=y$, så er $f^{-1}(y)=x$ – for eksempel er $f(3)=a$ så $f^{-1}(a)=3$.

En invers funksjon eller en omvendt funksjon er en funksjon som «opphever virkningen av» en annen funksjon. Mer presist uttrykt er to funksjoner f og g inverse hvis og bare hvis

$y=f(x)$ og $x=g(y)$

for alle x, y i domenet til henholdsvis x og y. Vi uttrykker det inverse forholdet med:

$g=f^{-1}$

Uttrykket må ikke forveksles med $1/f$

En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Hvis den finnes, er den unik. En funksjon som har en invers, sies å være inverterbar. Begrepet «invers» ble først brukt på 1900-tallet i en tekst av James Pierpont.

Egenskaper

Definisjonsområder

Dersom $f$ er en inverterbar funksjon med domene $X$ og kodomene $Y$, vil den inverse funksjonen av f ha domene $Y$ og kodomene $X$:

$f:X\to Y$ og $f^{-1}:Y\to X$

De sammensatte funksjonene $f^1\circ f$ og $f\circ f^{-1}$ er like identitetsfunksjonen definert over domenet X og Y respektivt:

$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_X$ og $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_Y.$

Eksistens

En funksjon $f:X\to Y$ har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Dette følger av at dersom den har en invers, vil den være surjektiv og injektiv:

• Dersom $f$ har en invers $f^{-1}$, så vil for enhver $y\in Y{f}^{-1}(y)=x$, slik at $f(x)=y$, altså er f surjektiv
• Dersom $f(x)=f(y)$ og f har en invers $f^{-1}$, så er $f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\circ f(y)$, altså er $x=y$ og f er injektiv

Motsatt vil en bijektiv funksjon alltid ha en invers:

• Dersom $f$ er bijektiv, og $y\in Y$, vil det finnes én og bare én $x\in X$ slik at $f(x)=y$. Altså kan man definere en funksjon $f^{-1}$ slik at $f^{-1}(y)=x$ for enhver $y\in Y$, som vil være en invers av f.

Se også

• Omvendt funksjonsteorem

Eksterne lenker

• Mal:MathWorld