Kule

Illustrasjon av en sfære (kuleoverflate) i tre dimensjoner.

En kule (eller en ball) er et perfekt symmetrisk objekt der alle punktene på objektets overflate har en fast (lik) avstand (radius) til ett bestemt punkt. Kulens overflate kalles en sfære (fra gresk σφαίρα). En sfære kan også betraktes som en ellipsoide hvor alle de tre aksene er like lange.

Ved bruk av kartesiske koordinater (x, y, z) og Pytagoras’ læresetning kan alle punkt i en kule matematisk beregnes. En kule med senter i (x₀, y₀, z₀) og radius r er da definert ved

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2\le r^2$

Ved bruk av kulekoordinater (r, θ φ) kan punktene på overflaten til en kule med en radius r defineres ved

$\begin{array}{cc}x& =x_0+r\sin \theta \cos \varphi \\ y& =y_0+r\sin \theta \sin \varphi (0\le \theta \le \pi \text{ og}0<\varphi \le 2\pi )\\ z& =z_0+r\cos \theta \\ \end{array}$

Disse definisjonene av en kule i tre dimensjoner kan lett utvides til å gjelde for en kule i rom av høyere dimensjoner.

En kules volum er det største volumet et objekt kan ha når arealet er gitt. Det kan vises ved variasjonsregning. Dette er grunnen til at mange objekter i naturen opptrer som kuler. Dette gjelder for eksempel for såpebobler hvor overflaten er skapt av overflatespenning. Boblen har et gitt volum som er bestemt av mengden med luft inni den. Da overflatespenningen er en konstant, er boblens energi proporsjonal med størrelsen til overflaten. Den stabile tilstanden er den med minste energi, det vil si når boblen er kuleformet.

Overflate og volum

Kule med radius r  og omskrevet sylinder.

Overflaten og volumet til en kule ble først beregnet av Arkimedes ved å omskrive kulen med en sylinder med samme radius og høyde lik diameteren til kulen. Han fant da at både overflaten S og volumet V  til kulen var 2/3 over de tilsvarende størrelsene for sylinderen. Det blir sagt at han ønsket dette elegante resultatet innskrevet på sin gravstein. Arkimedes' betraktninger la til en viss grad grunnlaget for moderne integralregning.

Sylinderen har en sideflate som er 2r⋅2π r = 4π r² samt to endeflater med totalt areal Mal:Nowrap. Overflaten til hele sylinderen er dermed Mal:Nowrap slik at 2/3 av dette gir kulens overflate

$S=4\pi r^2$

Samme resultat finnes ved bruk av integralregning. Bruker man kulekoordinater, følger det fra

$S=r^2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi =r^2\cdot 2\cdot 2\pi =4\pi r^2$

Volumet finnes herav ved å tenke seg det bygd opp av konsentriske kuleskall med variabel radius r og tykkelse dr,

$V=\underset{0}{\overset{r}{\int }}dr\cdot 4\pi r^2=\frac{4}{3}\pi r^3.$

Omvendt kan man si at arealet S er den deriverte av volumet V med hensyn på radius r. Da volumet til den omskrevne sylinderen er Mal:Nowrap er 2/3 av dette lik med kulevolumet V.

Man kan også beregne kulens volum ved bruk av kartesiske koordinater. Man betrakter den da som et omdreiningslegeme skapt ved å rotere halvsirkelen $y=\sqrt{r^2-x^2}$ om x-aksen. Kulen kan så betraktes som sammensatt av et stort antall skiver med radius y og tykkelse dx. Volumet av hele kulen blir da gitt ved integralet

$V=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\pi y^{2}dx=2\pi \underset{0}{\overset{r}{\int }}dx(r^2-x^2)=2\pi (r^{2}x-\frac{1}{3}{x}^3){|}_0^r=\frac{4}{3}\pi r^3.$

Resultatene for overflate og volum av kulen kan også finnes på mange andre måter. Man kunne for eksempel dele kulen opp i mange små kjegler med toppunkt i dens sentrum. Da grunnflaten i hver slik liten kjegle er en liten del dS av kulens overflate S, har hver av kjeglene det lille volumet Mal:Nowrap. Ved å integrere over hele kuleflaten, gir det kulevolumet Mal:Nowrap som gir samme svar igjen.

Kuler i høyere dimensjoner

I tillegg til matematisk interesse, opptrer kuler i rom med høyere dimensjoner også innen teoretisk fysikk. Dette gjelder spesielt for statistisk mekanikk hvor dimensjonen til faserommet er proporsjonalt med antall partikler i systemet. Dette kan være vilkårlig stort.

En kule med radius R i et n-dimensjonalt, euklidsk rom er definert ved alle punkt som oppfyller betingelsen

$r^2=x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2\le R^2$

Dette er en direkte generalisering av definisjonen fra den vanlige, tredimensjonale tilfellet. Volumet V_n  av en slik n-dimensjonale kule er da formelt gitt ved integralet

$V_n=\underset{r\le R}{\int }{d}^{n}x$

Ut fra dimensjonelle grunner må resultatet kunne skrives som V_n = C_n Rⁿ  hvor konstanten C_n  bare avhenger av dimensjonen n.

Tar man den deriverte av uttrykket for volumet, finner man

$d{V}_n=n{C}_n{R}^{n-1}dR$

Man kan betrakte dette uttrykket som overflaten S_{n - 1}  av kulen multiplisert med en liten, radiell utvidelse dR. Det fører til sammenhengen

$S_{n-1}=n{C}_n{R}^{n-1}$

Både volumet V_n  og overflaten S_{n - 1}  kan bestemmes når den geometriske konstanten C_n  er funnet. I analogi med tre dimensjoner er det naturlig å kalle størrelsen Mal:Nowrap for den fulle romvinkelen i n dimensjoner. Dette er samtidig overflaten til enhetskulen i dette multidimensjonale rommet.

Overflaten er ikke noen vanlig, todimensjonal flate, men en hypersfære med dimensjon n - 1. Ved bruk av matematisk terminologi kalles den et symmetrisk rom med positiv krumning og beskrevet ved generalisert, sfærisk geometri.

Beregning av geometrisk konstant

Konstanten C_n  kan beregnes på mange måter. En mulighet er å betrakte det multidimensjonale integralet

$I_n=\underset{r=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{n}x{e}^{-r^2}=\prod _{i=1}^n\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d{x}_i{e}^{-x_i^2}={\pi }^{n/2}$

som er et produkt av vanlige Gauss-integral av størrelse √π . Alternativt kan det utføres ved å bruke det som tilsvarer kulekoordinater i det n-dimensjonale rommet. Da kan volumelementet dⁿx  skrives som overflaten av en n-dimensjonal kule med radius r multiplisert med differensialet dr. Dermed tar integralet formen

$I_n=n{C}_n\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dr{r}^{n-1}{e}^{-r^2}=C_n\mathrm{\Gamma }(n/2+1)$

etter å ha tatt i bruk gammafunksjonen og innført t = r² som ny integrasjonsvariabel. Ved sammenligning av disse to resultatene for integralet, finner man at den geometriske konstanten har størrelsen

$C_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2+1)}$

For spesifikke utregninger behøver man verdien Γ(1/2) = √π  samt egenskapene til gammafunksjonen og dens sammenheng med fakultetsfunksjonen. For eksempel er Γ(3/2) = Γ(1/2 + 1) = (1/2)⋅Γ(1/2) = (1/2)√π . Dette gir Mal:Nowrap, Mal:Nowrap, Mal:Nowrap og Mal:Nowrap. Kulevolumene i de tilsvarende dimensjonene følger nå fra Mal:Nowrap.

Formelt fra formelen følger også Mal:Nowrap. Så hvis man overhodet kan snakke om en nulldimensjonal kule, så vil den ha volumet Mal:Nowrap. Dette kan man forstå som at den består bare av et punkt.

Noe spesielt er den endimensjonale kulen som består av alle punkt x i intervallet Mal:Nowrap. Volumet av denne kulen er derfor Mal:Nowrap. Dens overflate består kun av de to punktene Mal:Nowrap og Mal:Nowrap. Størrelsen på overflaten er i dette tilfellet gitt ved antall punkter i den, det vil si Mal:Nowrap.

Dette følger også fra den generelle formelen

$S_{n-1}=n{C}_n{R}^{n-1}=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2)}{R}^{n-1}$

for kuleoverflaten i n dimensjoner. Den gir de kjente resultatene Mal:Nowrap og Mal:Nowrap. Fra verdien for Mal:Nowrap finner man likedan Mal:Nowrap som er overflaten til en kule i et firedimensjonalt rom. Men samtidig er dette volumet av en tredimensjonal hypersfære som Einstein brukte i sin første kosmologiske beskrivelse av hele Universet. I denne modellen var det et endelig rom med konstant, positiv krumning.

Størrelsene av disse overflatene og volumene i forskjellige dimensjoner er forbundet med rekursjonsformler. Ved direkte sammenligning av uttrykkene for V_n  og S_n  ser man at Mal:Nowrap samtidig som Mal:Nowrap Dermed kan alle andre verdier finnes ved å starte fra Mal:Nowrap og Mal:Nowrap.

Litteratur

• A. Hodne, Matematikkens Historie, Volum 1, Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.
• M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 1, Oxford University Press, Oxford (1972). ISBN 978-0-19-506135-2.
• R. Tambs-Lyche, Lærebok i Matematisk Analyse, Volum II, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1958).
• T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-1502-710-4.
• D.A. McQuarrie, Statistical Mechanics, Harper & Row, New York (1976). ISBN 0-06-044366-9.