Kvadratisk form

En enkappet hyperboloide som kan beskrives av ligningen $a{x}^2+b{y}^2-c{z}^2=1$, dvs alle punkter (x,y,z) der den kvadratiske formen er lik 1.

I matematikk er en kvadratisk form hver enkel homogent uttrykk der hvert ledd er av annen grad. Generelt kan det skrives

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{c}_{ij}{x}_i{x}_j$

der $c_{ij}$ er konstanter og $x_i$ variabler.

Hver enkel kvadratisk form av to variabler x og y kan altså skrives $a{x}^2+bxy+c{y}^2$ for tallene a, b og c.

Formen er endelig dersom tegnet er det samme for alle tallpar x og y og der et av tallene ikke er null. For eksempel er uttrykket $a{x}^2+b{x}^2$ positivt definert for $a>0$ og $b>0$ siden det er positivt for alle verdier av x og y unntatt når begge er null. $a{x}^2$ for $a>0$ er positivt definert ettersom det er positivt eller null for alle x og y.

Om en kurve er negativt eller positivt definert kan lettes gjennom kvadratkomplettering.

Teorien for de kvadratiske formene, som blant annet tar for seg spørsmål om hvordan den kvadratiske formen forholder seg til innføring av nye variabler, er av grunnleggende betydning for de fleste områdene av matematikken. Toeriens systematiske utvikling er et vesentlig verk av noen av 1800-tallets fremste matematikere, som Carl Friedrich Gauss, Karl Weierstrass og Leopold Kronecker.