Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens. Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger.

Avledning

Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:

$x^2+px+q={(x+\frac{p}{2})}^2-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+q$.

Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd:

${(x+\frac{p}{2})}^2-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+q=x^2+2\cdot \frac{px}{2}+{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2+q=x^2+px+q.$

Oversikt

Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen

$a{x}^2+bx$

endres til et av formen

$(cx+d{)}^2+e$

Legg merke til at koeffisientene a, b, c, d og e overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn x.

Vanlig formel

For

$a{x}^2+bx=(cx+d{)}^2+e$

har vi

$c=\sqrt{a}$

$d=\frac{b}{2\sqrt{a}}$

$e=-d^2=-{\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)}^2$

eller

$a{x}^2+bx={(x\sqrt{a}+\frac{b}{2\sqrt{a}})}^2-{\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)}^2$

Eksempler

Eksempel 1

Et meget enkelt eksempel er:

$x^2+4x=x^2+4x+4-4=(x+2{)}^2-4$

Eksempel 2

Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av:

$\begin{array}{cccc}{x}^2+6x-16& =& 0& \\ x^2+6x& =& 16& \\ x^2+6x+(\frac{6}{2}{)}^2& =& 16+(\frac{6}{2}{)}^2& *\\ x^2+6x+9& =& 16+9& \\ (x+3{)}^2& =& 25& \\ (x+3)& =& \sqrt{25}& \\ x+3& =& \pm 5& \\ x& =& \pm 5-3& \\ x& =& -8,2& \end{array}$

* kvadratkompletteringen

Eksempel 3

Si at man vil finne løsningen av ligningen $x^2+3x-4=0$. Man kan da anvende kvadratkomplettering:

$x^2+3x-4={(x+\frac{3}{2})}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-4={(x+\frac{3}{2})}^2-\frac{25}{4}$

sett overforstående lik null og løs:

$\begin{array}{cc}& {(x+\frac{3}{2})}^2-\frac{25}{4}=0\\ & \iff {(x+\frac{3}{2})}^2=\frac{25}{4}\\ & \iff x+\frac{3}{2}=\pm \frac{5}{2}\\ & \iff x=-\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\\ & \iff x=1\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}x=-4\end{array}$

Eksempel 4

Betrakt problemer med å finne følgende integral:

$\int \frac{dx}{9x^2-90x+241}$.

Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren. Nevneren er

$9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241$.

Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til x² - 10x fås det perfekte kvadratet x² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:

$9(x^2-10x)+241=9(x^2-10x+25)+241-9(25)=9(x-5{)}^2+16$.

Dermed er integralet

$\int \frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int \frac{dx}{(x-5{)}^2+(4/3{)}^2}=\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{4}\arctan \frac{3(x-5)}{4}+C$.

Eksempel 5

Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av

$x^2+bx+c=0$

finnes ved å omforme ligningen slik at x og x² ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til x, kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:

$\begin{array}{cccc}{x}^2+bx+c& =& 0& \\ x^2+bx& =& -c& \\ x^2+bx+(\frac{b}{2}{)}^2& =& -c+(\frac{b}{2}{)}^2& *\\ (x+\frac{b}{2}{)}^2& =& (\frac{b}{2}{)}^2-c& \\ (x+\frac{b}{2})& =& \pm \sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2-c}& \\ x& =& -\frac{b}{2}\pm \sqrt{(\frac{b}{2}{)}^2-c}& \end{array}$

* kvadratkomplettering

Eksempel 6 (den generelle andregradsligningen)

Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen

$a{x}^2+bx+c=0$

ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:

$\begin{array}{ccc}a{x}^2+bx+c& =& a(x^2+\frac{bx}{a})+c\\ & =& a(x^2+\frac{bx}{a}+(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}))+c\\ & =& a(x^2+\frac{bx}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)-a\frac{b^2}{4a^2}+c\\ & =& a(x^2+2\frac{bx}{2a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2)-a\frac{b^2}{4a^2}+c\\ & =& a{(x+\frac{b}{2a})}^2-a\frac{b^2}{4a^2}+c\end{array}$.

hvorav

$\begin{array}{ccc}{(x+\frac{b}{2a})}^2& =& \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\ x+\frac{b}{2a}& =& \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}\\ x& =& \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}-\frac{b}{2a}\\ & =& \frac{\pm \sqrt{4a^2(\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a})}}{2a}-\frac{b}{2a}\\ & =& \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$

Komplekse versjoner av kvadratkomplettering

Betrakt uttrykket

$|z{|}^2-b^{*}z-b{z}^{*}+c,$

der $z$ og $b$ er komplekse tall, $z^{*}$ og $b^{*}$ er de komplekse konjugasjonene av henholdsvis $z$ og $b$, og $c$ er et reelt tall. Dette kan uttrykkes på denne måten:

$|z-b{|}^2-|b{|}^2+c,$

som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi

$\begin{array}{ccc}|z-b{|}^2& =& (z-b)(z-b{)}^{*}\\ & =& (z-b)(z^{*}-b^{*})\\ & =& z{z}^{*}-z{b}^{*}-b{z}^{*}+b{b}^{*}\\ & =& |z{|}^2-z{b}^{*}-b{z}^{*}+|b{|}^2\end{array}$

På samme måte kan uttrykket

$a{x}^2+b{y}^2+c,$

der $a$, $x$, $b$, $y$ og $c$ er reelle tall og $a>0$ samt $b>0$, uttrykkes ved kvadratet av den absolutte verdien av et komplekst tall. Defineres

$z=\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y,$

slik

$\begin{array}{ccc}|z{|}^2& =& z{z}^{*}\\ & =& (\sqrt{a}x+i\sqrt{b}y)(\sqrt{a}x-i\sqrt{b}y)\\ & =& a{x}^2-i\sqrt{a}\sqrt{b}xy+i\sqrt{b}\sqrt{a}yx-i^{2}b{y}^2\\ & =& a{x}^2+b{y}^2\end{array}$

, noe som gir

$a{x}^2+b{y}^2+c=|z{|}^2+c.$

Bruk

Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi:

$x^2+px+q=\underset{\ge 0}{\underbrace{{(x+\frac{p}{2})}^2}}+(q-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2)\ge q-{\left(\frac{p}{2}\right)}^2.$

Denne ulikheten viser at den minste verdien $q-(p/2{)}^2$ antas ettersom tallet x er lik tallet $-p/2$.

Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel:

$x^2+2xy=(x+y{)}^2-y^2$

$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy$

Se også

• Kvadratsetningene