Potens (matematikk)

Grafen b^x for ulike verdier for b: 10, e, 2 og 1/2 for henholdsvis grønn, rød, blå og turkis kurve.

En potens i matematikken er et tall eller en funksjon uttrykt som en relasjon mellom to tall eller variabler, et grunntall og en eksponent. Man sier at grunntallet er opphøyd i eksponenten. En potens med grunntall b og eksponent n skrives:

$b^n$

Dersom n er et positivt heltall, tilsvarer dette å gange grunntallet med seg selv n ganger, dvs.

$b^n=b\cdot b\cdot \cdots \cdot b$

der man utfører multiplikasjonen på høyre side n ganger. For eksempel kan man skrive tallet 8 som $2^3=2\cdot 2\cdot 2$; her vil $2^3$ være en potens og 3 tallets eksponent.

Dersom n er et positivt heltall, defineres $b^{-n}$ ved hjelp av brøk, slik at

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$

og $b^{1/n}$ som n-te-roten av grunntallet,

$b^{1/n}=\sqrt[n]{b}$

Definisjonen av eksponenter kan utvides til å gjelde for alle reelle og komplekse tall.

Regneregler

En potens med grunntall b og eksponent n, multiplisert med en annen potens med grunntall b og eksponent m:

$b^n\cdot b^m=b^{n+m}$

En potens med grunntall b og eksponent n, dividert med en annen potens med grunntall b, og eksponent m:

$\frac{b^n}{b^m}=b^{n-m}$

Negative eksponenter gir den inverse til tallet opphøyd i eksponenten:

$b^{-n}=\frac{1}{b^n}$

for alle b ulik 0

Potens av potens regnes ut ved å opphøye grunntallet i produktet av eksponentene:

$(b^n{)}^m=b^{nm}$

For generelle eksponenter (strengt tatt av type rasjonale tall) kan en forklare potensfunksjonen som en kombinasjon av heltallig potensiering og heltallig rotberegning:

$b^{0.4}=b^{2/5}=\sqrt[5]{b^2}$

For eksponenter lik null gjelder:

$b^0=b^{n-n}=\frac{b^n}{b^n}=1$

for alle b ulik 0

Notasjon for funksjoner

Dersom et tall angis som opphøyd for en funksjon, før argumentet, betegner dette vanligvis enten en invers (for -1) eller at man anvender samme funksjon et visst antall ganger (for et positivt heltall). F.eks. vil man kunne angi den inverse funksjonen av $f(x)=x$ som $f^{-1}(x)=1/x$ (for x > 0), og funksjonen $f(f(f(x)))$ som $f^3(x)$.

For trigonometriske og hyperbolske funksjoner har slike eksponenter, etter konvensjon, en noe annen betydning: -1 betegner den trigonometriske inverse funksjonen, og et positivt heltall betegner at man opphøyer funksjonen i dette tallet n ganger. F.eks. vil ${\sin }^{-1}x$ brukes ekvivalent med $\arcsin x$, og ${\sin }^{2}x$ ekvivalent med $(\sin x{)}^2$. Tilsvarende konvensjon for positive heltall gjelder også for logaritmiske funksjoner, der ${\log }^{2}x$ vanligvis refererer til $(\log x{)}^2$, ikke $\log \log x$.

Se også

• Eksponensialfunksjon

Eksterne lenker

• Mal:MathWorld
• Mal:MathWorld